Теорема 2. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.
Доказательство. Пусть и=ХХ2 ... х„. Предполагая для простоты, что приближенные числа положительны, будем иметь:
Отсюда, используя приближенную формулу
, находим:
Оценивая последнее выражение но абсолютной величине, получим:
Если А/ (/= 1, 2, ..., п) - точные значения сомножителей х, и | Дх,- |, как это бывает обычно, малы по сравнению с х„ то приближенно можно положить
и
где 5, - относительные погрешности сомножителей х, (/= 1,2, ..., п) и 5 - относительная погрешность произведения. Следовательно,
Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т. е.
Если
,то
и
Следовательно
Отсюда вытекает, что теорема 2 верна и для частного.
Общая формула для погрешности
Основная задача теории погрешности в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин [2-5].
Пусть задана дифференцируемая функция:
и
- абсолютные погрешности аргументов функции.
Тогда абсолютная погрешность функции:
Обычно на практике | Дх,-1 - малые величины, квадратами, произведениями и высшими степенями которых можно пренебречь. Поэтому можно принять:
Обозначая через Ах, (г=1, 2, ..., п) абсолютные погрешности аргументов х, и через Дц - предельную погрешность функции и, для малых Axi получим:
При мер 1.4. Найти абсолютную и относительную погрешности объема шара V=na/6, если диаметр d=3,l см ± 0,05 см, а л « 3,14.
Решение. Рассматривая л и d как переменные величины, вычисляем частные производные:
По формуле (1.11) предельная абсолютная погрешность объема
Поэтому
Отсюда относительная погрешность объема
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Определение приближенного числа.
2. Понятие абсолютной и относительной погрешностей.
, находим:
,то
и
- абсолютные погрешности аргументов функции.
Поэтому
