ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Одной из важных и наиболее распространенных задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, которые встречаются в разных областях научных исследований [2-6].
В своей практической деятельности инженеру-химику-технологу достаточно часто приходится сталкиваться с решением нелинейных уравнений. Например, при расчетах тепловых балансов, процессов однократного испарения, в смесителях, при расчетах процессов отстаивания, расчете точки росы, диаметров нефтепроводов и многих других процессах. Нелинейные уравнения широко представлены в расчетах физико-химических характеристиках систем, например, при вычислении констант фазового равновесия.
Любое уравнение в общем виде можно представить:
Нелинейные уравнения можно разделить на два типа: алгебраические и трансцендентные.
Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (рациональные, иррациональные, целые). Алгебраическое уравнение можно представить многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами:
Например,
Трансцендентными называются уравнения, которые содержат другие функции (показательные, тригонометрические, логарифмические и т. д.), например:
Задача решения уравнения (2.1) заключается в нахождении таких значений х, при которых (2.1) обращается в тождество, т. е. в ноль:
где Ъ, - корень уравнения.
Методы решения нелинейных уравнений можно разделить на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни уравнения в виде формулы. Однако на практике встречающиеся уравнения далеко не всегда удается решить простыми методами. Для их решения применяются итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений.
Приближенное определение корней уравнения проводится в два этапа:
- 1. Отделение корней, т. е. установление малых отрезков, в каждом из которых содержится только один корень уравнения.
- 2. Уточнение приближенных значений корней до некоторой заданной степени точности.