ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Одной из важных и наиболее распространенных задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, которые встречаются в разных областях научных исследований [2-6].

В своей практической деятельности инженеру-химику-технологу достаточно часто приходится сталкиваться с решением нелинейных уравнений. Например, при расчетах тепловых балансов, процессов однократного испарения, в смесителях, при расчетах процессов отстаивания, расчете точки росы, диаметров нефтепроводов и многих других процессах. Нелинейные уравнения широко представлены в расчетах физико-химических характеристиках систем, например, при вычислении констант фазового равновесия.

Любое уравнение в общем виде можно представить:

Нелинейные уравнения можно разделить на два типа: алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (рациональные, иррациональные, целые). Алгебраическое уравнение можно представить многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами:

Например,

Трансцендентными называются уравнения, которые содержат другие функции (показательные, тригонометрические, логарифмические и т. д.), например:

Задача решения уравнения (2.1) заключается в нахождении таких значений х, при которых (2.1) обращается в тождество, т. е. в ноль:

где Ъ, - корень уравнения.

Методы решения нелинейных уравнений можно разделить на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни уравнения в виде формулы. Однако на практике встречающиеся уравнения далеко не всегда удается решить простыми методами. Для их решения применяются итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений.

Приближенное определение корней уравнения проводится в два этапа:

• 1. Отделение корней, т. е. установление малых отрезков, в каждом из которых содержится только один корень уравнения.
• 2. Уточнение приближенных значений корней до некоторой заданной степени точности.