Метод простых итераций

Одним из часто применяемых в инженерной практике численных методов решения нелинейных уравнений является метод итераций (метод последовательных приближений). Сущность метода в следующем [2-10].

Заменяем данное нелинейное уравнение (2.1) эквивалентным ему уравнением вида:

Начальное приближение корня х=х0. Подставим это значение в правую часть уравнения (2.8), получаем новое приближение:

Аналогичным образом получим:

Далее, подставляя каждый раз найденное значение корня в (2.9), получаем последовательность значений:

Итерационный процесс будет продолжаться до тех пор, пока не станут близки результаты двух последовательных итераций:

Достаточным условием сходимости метода простых итераций является условие:

которое выполняется для любого х, принадлежащего отрезку [а, b], содержащему корень уравнения.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода. Строим графики функций у=х иу = (р(х) (рис. 2.10). Корнем ?, уравнения х = ф(х) является абсцисса точки пересечения кривой у = ф(лг) с графиком у = х.

Метод простых итераций

Рис. 2.10. Метод простых итераций

Показано, что при ф'(х) > 0 (см. рис. 2.10, а, 6) и при ф'(х) < 0 (см. рис. 2.10, в, г) возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости процесса зависит от абсолютной величины производной ф'(лг). Чем меньше значение | ф'(х) | вблизи корня, тем быстрее сходится процесс. Таким образом, при переходе от уравнения (2.1) к уравнению (2.8) необходимо, чтобы было выполнено условие (2.13).

Итерационные процессы могут быть как односторонними, если ф'(х) > 0, так и двусторонними, если (p'(-v) < 0.

Блок-схема метода простых итераций приведена на рис. 2.11.

Блок-схема метода простых итераций

Рис. 2.11. Блок-схема метода простых итераций

Пример 2.5. Требуется решить нелинейное уравнение е ' - х2 = 0. Допустим, что в результате отделения корней было найдено, что корень уравнения находится на интервале [0, 1].

X

-2

-1

0

1

2

Ах)

3,389

1,718

1

-0,632

-3,865

Приведем уравнение J[x) = e ' - х2 = 0 к эквивалентному виду jc = ф(эс). Возможны следующие варианты:

Проверяем для каждого уравнения условие сходимости 1) . Очевидно, что на интервале

X

0

0,25

0,5

0,75

1

|-2/*|

-Ьоо

8

4

2,667

2

и, следовательно, метод итераций при эквивалентном уравнении сходиться не будет;

2) . На интервале

X

0

0,25

0,5

0,75

1

е~хП

2

0,5

0,441

0,384

0,345

0,303

и, следовательно, метод итераций при эквивалентном уравнении

сходится. Это хорошо видно из приведенных результатов расчета. В качестве начального приближения может быть выбрано любое число, принадлежащее выделенному интервалу, например х0 = 0.

п

х„

0

0

1

1

1

0,607

2

0,607

0,738

3

0,738

0,691

4

0,691

0,708

5

0,708

0,702

6

0,702

0,704

7

0,704

0.703

Вопросы для самоконтроля

  • 1. Два типа нелинейных уравнений?
  • 2. Основные этапы определения корней нелинейного уравнения?
  • 3. В чем суть этапа отделения корней?
  • 4. Способы отделения корней?
  • 5. На чем основан метод уточнения корней - бисскций?
  • 6. В чем заключается итерационный процесс поиска корней методом Ньютона?
  • 7. Условие применения метода касательных?
  • 8. Что лежит в основе применения метода простых итераций?
  • 9. В чем заключается итерационный процесс поиска корня по методу итераций?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >