Метод Гаусса (метод исключений)

Методом Гаусса называют точный метод решения невырожденной системы линейных уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему

или

приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

решение которой находят по рекуррентным формулам:

Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим схему с выбором главного элемента.

Предположим, что ам Ф 0, и разделим обе части первого уравнения системы на ац, в результате получим уравнение:

С помощью полученного уравнения исключаем во всех уравнениях системы, начиная со второго, слагаемые, содержащие Х. Для этого умножаем последовательно обе части уравнения на а2, aJU а„ и вычитаем из соответствующих уравнений. В результате получаем систему, порядок которой на единицу меньше порядка исходной. Аналогично преобразуем полученную систему. В результате л-крагного повторения этого преобразования получим систему с треугольной матрицей.

Основным условием применимости данной схемы является неравенство нулю элементов главной диагонали матрицы коэффициентов а„ * 0, i = 1,...,«. В противном случае необходимо сделать перестановку уравнений системы и добиться выполнения этого условия.

Пример 3.1. Требуется найти решение:

Элементы главной диагонали матрицы коэффициентов не равны нулю. Исключим х, из 2-го и 3-го уравнений системы:

Перейдем к десятичным дробям с точностью до третьего знака после запятой:

Исключим х2 из 3-го уравнения:

Получим эквивалентную систему с треугольной матрицей:

Теперь очевидно, что надо делать для решения системы. Необходимо определить х3 из (3.14), подставить этот результат во второе уравнение системы и определить х2:

затем подставить х2 и х3 в первое уравнение системы (3.14) и определить х,:

Блок-схема метода Гаусса

Рис. 3.1. Блок-схема метода Гаусса

Этот процесс обычно называют обратной подстановкой.

Блок-схема алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса представлена на рис. 3.1, программа расчета на языке Паскаль приведена в приложении. Рассмотрен случай, когда ан Ф 0, г = 1,..., п, и перестановка уравнений системы не требуется.

Для удобства реализации алгоритма вектор-столбец правых частей уравнений включен (я+1)-м столбцом в матрицу коэффициентов А системы п линейных уравнений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >