Интерполяционный метод Гаусса-Зейделя

Этот метод исключительно удобен для использования на ЭВМ.

Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Предположим, что аиФ 0; аи Ф 0; а33 Ф 0, и перепишем систему в следующем виде:

Теперь возьмем некоторое первое приближение к решению этой системы, обозначив его через х,(0), х2 х*01. Подставим это решение в (3.18) и вычислим новое значение х,(1):

Используя только что вычисленное значение х{'* и начальное значение *<° вычислим из уравнения (3.19) новое значение х2:

Наконец, используя только что вычисленные значения х{'* и х2 найдем из (3.20) новое значение х3:

Этим заканчивается первая итерация. Теперь можно заменить исходные значения и вычислить следующее приближение.

В общем случае к-е приближение определяется формулами:

Пример 3.2. Решим систему уравнений

Нетрудно убедиться, что точное решение этой системы равно Х = 1, х2 = 1, х3 = 1. Положим х,0) = 0, х(2>] = 0, х<°> = 0, как это обычно делается для начального приближения. Тогда, согласно формулам:

Получаем следующее приближение:

Последовательные приближения, вычисленные каждый раз с точностью до четырех значащих цифр, приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Итерация

*2

*3

0

0

0

0

1

0,1000 • ю1

0,1333 - ю1

0,1133 • 101

2

0,1050- 10'

0,9473 • 10°

0,9889- 10°

3

0,9896- 10°

0,1005 • 101

0,9999- 10н

4

0,1001 • 10'

0,9999- 10°

0,1000- 10'

5

0,1000- 10'

0,1000- 10'

0,1000- 10'

Для системы из п уравнений с п неизвестными (диагональные элементы отличны от нуля) к-е приближение к решению будет задаваться функцией

Интерполяционный процесс продолжается до тех пор, пока все х-к) не станут достаточно близки к х^~г>. Критерий близости можно задавать в следующем виде:

где определяется максимальное значение разности для всех /, a s - некоторое положительное число.

Достаточным условием сходимости метода Гаусса-Зейделя является то, что диагональные члены должны преобладать в уравнении, т. е. они должны быть по абсолютной величине не меньше, а по крайней мере в одном случае больше недиагональных элементов для всех или для одного /:

Блок-схема алгоритма решения системы линейных уравнений итерационным методом Гаусса-Зейделя представлена на рис. 3.2, программа расчета на языке Паскаль приведена в приложении.

В качестве практического примера использования методов решения систем линейных уравнений приведем поиск коэффициентов параболической аппроксимации по набору экспериментальных точек (см. пример 5.8 раздела 5.3.3). Решение этого примера надежнее проводить с помощью прямого метода Гаусса, т. к. условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя может не выполниться. Блок-схема алгоритма расчета представлена на рис. 3.3. Программа расчета на языке Паскаль приведена в приложении. Матрица коэффициентов системы линейных уравнений обозначена двумерным массивом аа, искомые коэффициенты параболической аппроксимации - массивом а.

Вопросы для самоконтроля

  • 1. В чем состоит постановка задачи при решении систем линейных уравнений?
  • 2. Какие знаете методы решения линейных уравнений?
  • 3. На чем основано решение систем линейных уравнений методом Гаусса?
  • 4. Сущность метода Гаусса-Зейделя?
Блок-схема решения системы линейных уравнений методом Гаусса-Зейделя

Рис. 3.2. Блок-схема решения системы линейных уравнений методом Гаусса-Зейделя

Блок-схема расчета коэффициентов квадратичной аппроксимации зависимости теплоемкости циклопропана от температуры с использованием метода Гаусса

Рис. 3.3. Блок-схема расчета коэффициентов квадратичной аппроксимации зависимости теплоемкости циклопропана от температуры с использованием метода Гаусса

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >