Интерполирование

В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f{x) для всех значений х отрезка [а, Ь], если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Одним из способов приближения функции является интерполяция.

Задача интерполяции может возникнуть в практике инженера:

  • • при интерполировании табличных данных;
  • • при получении функциональной зависимости по экспериментальным данным, представленным в табличной форме;
  • • при замене сложной с вычислительной точки зрения функции более простой зависимостью;
  • • при дифференцировании и интегрировании.

Постановка задачи

Пусть на отрезке [х0, х„] заданы п + 1 точки х0, Х, х2, х„, называемые узлами интерполяции, и значения некоторой интерполируемой функции у =jx) в этих точках, т. е. имеется таблица экспериментальных значений функцииу=Дх):у0,У,уг, -,У„

Требуется найти значения этой функции для промежуточных значений аргумента, не совпадающих с приведенными в таблице. Получить аналитическое выражение функции у -fix) по таблице ее значений (5.2) в большинстве случаев невозможно. Поэтому вместо нее строят другую функцию, которая легко вычисляется и имеет ту же таблицу значений, что и f[x), т. е.

где / = 0, 1,2,

Такую задачу называют задачей интерполирования. Точки дс,- называются узлами интерполяции, функция /(х) - интерполируемой функцией, многочлен Р,„{х) - интерполяционным многочленом. Задачей интерполяции, в узком смысле слова, считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах х, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента х расположено между узлами х0<х<х„, то нахождение приближенного значения функции J{x) называется интерполяцией', если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала [х0, х„], то процесс называют экстраполяцией. Происхождение этих терминов связано с латинскими словами inter- между, внутри,pole - узел, extra - вне.

Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполирования (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

При решении задачи интерполирования обычно принимается, что:

• интерполируемая функция непрерывна на отрезке [а, А] и в каждой

точке имеет конечные производные любого порядка;

• узлы интерполирования отличны друг от друга.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >