Линейная аппроксимация

Часто при обработке экспериментальных данных оказывается возможным построить линейный аппроксимирующий полином, т. е. описать закон изменения jt линейным уравнением (рис. 5.7)

Рис. 5.7. Линейная аппроксимация

Выведем формулы для расчета неизвестных коэффициентов а0 и ах линейного аппроксимирующего полинома (5.28) по методу наименьших квадратов:

Решая систему уравнений, выражаем коэффициенты а0 и а,:

Определитель системы:

Определение коэффициентов а0 и а, возможно, если определитель системы Ф 0. Если определитель D = 0, то система или не имеет решений (т. е. несовместна), или имеет бесконечно много решений (т. е. система неопределенная).

Пример 5.6. Дана табличная зависимость теплоемкости оксида углерода от температуры.

т, к

300

400

500

600

700

800

900

1000

6,97

7,01

7,12

7,28

7,45

7,62

7,79

7,93

Необходимо построить аппроксимирующий полином в виде у=а0 + ci ? х. Для вычисления коэффициентов по функции (5.30) составим таблицу (табл. 5.5).

Таблица 5.5

/

т,

Xj

У<

xf

X/ •у1

1

300

0

6,97

0

0

2

400

1

7,01

1

7,01

3

500

2

7,12

4

14,24

4

600

3

7,28

9

21,84

5

700

4

7,45

16

29,8

6

800

5

7,62

25

38,1

7

900

6

7,79

36

46,74

8

1000

7

7,93

49

55,51

I

28

59,17

140

213,24

Введем обозначение где

Сделаем проверку, насколько хорошо полученный полином аппроксимирует (описывает) эксперимент (табл. 5.6.2).

Таблица 5.6

/

т,

1

300

6,97

6,9

0,07

2

400

7,01

7,03

0,02

3

500

7,12

7,17

0,05

4

600

7,28

7,32

0,04

5

700

7,45

7,46

0,01

6

800

7,62

7,62

0,00

7

900

7,79

7,76

0,03

8

1000

7,93

7,91

0,02

Рис. 5.8. Блок-схема линейной аппроксимации

Разность между исходными данными и результатами расчета по полученному выражению определяет погрешность аппроксимации. Если погрешность велика, то выбирают другой вид аппроксимирующего полинома.

Блок-схема алгоритма линейной аппроксимации приведена на рис. 5.7. Приняты следующие обозначения:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >