Формулы, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона

Пусть имеем функцию у(х), заданную в равноотстоящих точках х,- (/ = 0, 1,2,..., п) отрезка [а, Ь] с помощью значений у, =Дх,). Для нахождения на [а, Ь] производных y'=fx), y"~f"(x) и т. д. функцию у приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов х0, Х|, ...,хк(к< п).

Имеем:

где

Производя перемножение биномов, получим:

Так как

то

Аналогично, так как то

Таким же способом, в случае надобности, можно вычислить и производные функции у(х) любого порядка. Заметим, что при нахождении производных у'(х), у"{х), ... в фиксированной точке х в качестве х0 следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента. Отметим, что можно вывести также формулы приближенного дифференцирования исходя из второй интерполяционной формулы Ньютона.

Пример 6.1. Найтиу'(50) функцииу = 1§х, заданной таблично.

X

У

АУ

Л2у

Л3у

50

1,6990

0,0414

-0,0036

0,0005

55

1,7404

0,0378

-0,0031

60

1,7782

0,0347

65

1,8129

Решение. Здесь h = 5. Дополняем таблицу столбцами конечных разностей. Так как х=50 и q = (x— x0)/h = 0, то У(50) = (0,0414+ 0,0018 + + 0/0,002) = 0,0087.

Для оценки точности найденного значения заметим, что так как табулированная выше функция есть у = lg х, то

Следовательно, У(50)= 1/50 ? 1/1п( 10) = 0,0087. Таким образом, результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >