Метод прямоугольников

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой:

Разобьем интервал интегрирования [а, 6] на п равных частей. Обозначим AXj = h шаг разбиения. Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. В качестве точек выбираются левые (^, = jc,_i) или правые (^,=х,) границы элементарных отрезков (см. рис. 7.1).

Соответственно, для этих двух случаев можно записать формулы метода прямоугольников:

Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков: точка х(.. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции Дх) в середине оснований /(х.) (см. рис. 7.2).

Получим формулу:

где

или

Рис. 7.1

Рис. 7.2

На рис. 7.3 приведена блок-схема метода прямоугольников, в приложении - программа с графическим выводом интегральной кривой.

Блок-схема метода прямоугольников 7.2. Метод трапеций

Рис. 7.3. Блок-схема метода прямоугольников 7.2. Метод трапеций

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. трафик функции у-J(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (х,,у,). В этом случае площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей элементарных прямоугольных трапеций (см. рис. 7.4, 7.5). Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле

где п - число интервалов разбиения.

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Блок-схема метода трапеций

Рис. 7.6. Блок-схема метода трапеций

Складывая вес эти равенства, получим формулу трапеций для численного интегрирования:

или

Формулы (7.9) и (7.10) можно представить в виде:

Блок-схема алгоритма метода трапеций приведена на рис. 7.6.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >