ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Постановка задачи

Большинство балансовых уравнений в химии и химической технологии представлены системой дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса. Уравнения, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации встречаются весьма часто.

Обыкновенные дифференциальные уравнения широко используются для математического моделирования химико-технологических процессов. С помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, например, исследуется кинетика химических реакций, процессы, протекающие в химических реакторах, массообменных и теплообменных аппаратах.

Дифференциальные уравнения устанавливают связь между независимыми переменными, искомыми функциями и их производными. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Например, структура движения потока в реакторе идеального перемешивания описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

Здесь искомая функция (концентрация вещества) C{t) зависит от одной переменной t (времени).

В том случае, если искомая функция зависит от нескольких переменных, дифференциальное уравнение будет уравнением в частных производных.

Например, структуру потока в реакторе идеального вытеснения можно описать уравнением в частных производных:

В этом уравнении функция C(t, Г) зависит от времени (() и длины аппарата (/).

В настоящей главе нами будут рассмотрены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) называются уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции у =у(х):

где х - независимая переменная.

Наивысший порядок п, входящей в уравнение (8.1) производной, называется порядком дифференциального уравнения.

Например:

F(x,y,y") - 0 - уравнение первого порядка;

F(x,y,yy") = 0 - уравнение второго порядка.

Из общей записи дифференциального уравнения (8.1) можно выразить производную в явном виде:

Уравнение (8.2) имеет бесконечное множество решений. Для получения единственного решения необходимо указать дополнительные условия, которым должны удовлетворять искомые решения.

В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип - это задачи с начальными условиями.

Для таких задач кроме исходного уравнения (8.1) в некоторой точке х0 должны быть заданы начальные условия, т. е. значения функции у (х) и ее производных: у0) =у0,

Второй тип задач - это так называемые граничные, или краевые, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями.

Количество условий должно совпадать с порядком уравнения или системы п. Если решение задачи определяется в интервале хе[х0, X/.], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум.

Третий тип задач для обыкновенных дифференциальных уравнений - это задачи на собственные значения.

Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций у(х) и их производных в уравнения входят дополнительно т неизвестных параметров А,,, X , ..., X , которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [л:0, Л';] необходимо задать п + т граничных условий.

Большинство методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений основано на задаче Коши.

Сформулируем задачу Коши.

Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной

удовлетворяющее начальному условию

Необходимо найти на отрезке [х0, х„] такую непрерывную функцию у=у(х), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.3) и начальному условию (8.4), т. е. найти решение дифференциального уравнения. Нахождение такого решения называют решением задачи Коши. Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений уи у2, ..., у„ решения уравнения у(х) в точках Х,х2,..., х„ с некоторым шагом к.

К численному решению обыкновенных дифференциальных уравнений приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции, хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >