Методы Рунге-Кутты

Широкая категория методов, наиболее часто применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, известна под общим названием методы Рунге-Кутты. Различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и соответственно обеспечивают большую или меньшую точность.

Методы Рунге-Кутты обладают следующими отличительными свойствами:

• эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение

функции в точке у,+| нужна информация только о предыдущей точке (у„ х,);

  • • они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hk, где степень к определяет порядок метода;
  • • эти методы не требуют вычисления производных отДх,у), а требуют вычисления самой функции.

Именно благодаря последнему свойству методы Рунге-Кутты более удобны для практических вычислений.

Метод Эйлера (метод Рунге-Кутты первого порядка)

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Этери. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка

с начальным условием

т. е. необходимо решить задачу Коши.

В окрестности точки х() функциюу(х) разложим в ряд Тейлора:

который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). В точке х() + h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда (8.7), тогда

где 0(1г2) - бесконечно малая величина порядка /г2. Заменим производную y'(xQ), входящую в формулу (8.7), на правую часть уравнения (8.5):

Теперь приближенное решение в точке х{ =xQ + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (8.9) найти значение искомой функции в следующей точке х0{ + h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных.

Метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул:

для точки

Таким образом, формула Эйлера в общем случае имеет вид:

Название «метод ломаных» связано с его геометрической интерпретацией. Искомая функция >{л') заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах х(), хп. Выведем формулы на основе геометрических аналогий. Предположим, что нам известна точка (x0, у0) на искомой интегральной кривой (см. рис. 8.1).

Рис. 8.1

Через точку (х«, у0) проведем касательную с тангенсом угла наклона: Уравнение касательной имеет вид:

Тогда в точке X] =л'() + h, с учетом (8.13), получим решение:

Ошибка решения в точке x=xt показана в виде отрезка Д.

Формула (8.12) является методом Рунге-Кутты первого порядка, т. к. она согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка hl.

Метод Эйлера имеет довольно большую погрешность вычисления: Д«0(И). Кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая ошибка (например, заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом х. На рис. 8.2 приведена блок-схема метода Эйлера, в приложении - программа расчета.

Блок-схема метода Эшера

Рис. 8.2. Блок-схема метода Эшера

Пример 8.1. Для химической реакции

Изменение концентраций веществ А и В можно описать следующими кинетическими уравнениями:

с начальными условиями:

Требуется получить зависимость изменения концентрации вещества А от времени, т. е. необходимо решить дифференциальное уравнение (решить задачу Коши).

Исходные данные:

G, о=1 моль/л;

Св. о= 0;

к=0,2 с интервал интегрирования /=[0, 5].

Обозначим СА =у, тогда

Примем величину шага h = 0,1. Решим данное уравнение методом Эйлера (8.12).

Последовательность решения. Найдем решение в точке:

Для того чтобы проинтегрировать данное уравнение на интервале /=[0, 5] с шагом И = 0,1, потребуется n=t/h=5 /0,1= 50 шагов вычислений.

На примере первых четырех шагов мы показали последовательность вычислений по методу Эйлера. Если аналогично выполнить расчеты во всех точках, то в момент времени t=5 с концентрация вещества А будет равна

Точное решение дифференциального уравнения (8.14) в точке t=5: G = 0,3679 моль/л. Относительная ошибка метода Эйлера составляет около 1 %. Значения концентраций вещества А, рассчитанные по методу Эйлера, и точные значения СА в точках t= 1, 2, 3,4, 5 с приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

//, с

СА, моль/л

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутты

Точное решение

1

0,817

0,818

0,819

2

0,668

0,670

0,670

3

0,546

0,548

0,549

4

0,446

0,449

0,449

5

0,364

0,367

0,368

Построим график изменения концентрации вещества А в зависимости от времени (рис. 8.2 а).

а

Рис. 8.2 а

Для получения более точных результатов по методу Эйлера используют различные приемы. Рассмотрим уточненный метод Эйлера.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >