Основные теоремы дифференциального исчисления

Рассмотрим более детально связь между функциями и их производными. Говорят, что функция дифференцируема на интервале, если она имеет производную в каждой точке этого интервала. Связь между функцией и ее производной выражает следующая теорема.

Теорема Лагранжа. Если функция/(*) непрерывна на отрезке а, Ь и дифференцируема на интервате (я, b), то на этом интервате есть, по крайней мере, одна точка х = с [с е (я, Ь) |, в которой производная удовлетворяет условию

Опуская доказательство (оно имеется в более подробных курсах математики), остановимся на геометрическом аспекте этой теоремы, который отражен на рис. 10.15.

Отношение в правой части равенства выражает тангенс угла наклона а хорды Л В к оси Ох, т.е. равно угловому коэффициенту этой хорды, в то время как производная в левой части равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке С. Так как равенство угловых коэффициентов двух прямых влечет за собой их параллельность, то геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в утверждении, что существует такая точка графика, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей начальную и конечные точки графика.

Геометрическое толкование теоремы Лагранжа

Рис. 10.15. Геометрическое толкование теоремы Лагранжа

Теорему Лагранжа часто записывают через формулы конечных приращений. На отрезке [a, b: f(b) - f(a) = f'(c)(b - а). На отрезке [х, х + Ах]: fix + Ax) -f{pc) = Ay = /'(с) Ах. Сравним последнее точное равенство с рассматривавшимся ранее приближенным равенством: Ду ~ dy =/'(с)Ах. Здесь производная вычисляется в точке х, но равенство приближенное; в формуле конечных приращений равенство точное, но производная вычисляется в некоторой, вообще говоря, неизвестной средней точке.

Частным случаем теоремы Лагранжа является теорема Ролля, в которой на функцию налагается дополнительное условие — ее значения в концах отрезка предполагается равными между собой: [(b) = /(а). Теорема Ролля утверждает существование, по крайней мере, одной такой точки х = с, в которой производная равна нулю: fc) = 0. На языке геометрии это означает, что имеется хотя бы одна точка графика, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Чтобы получить приращение функции с большой точностью, к исследованию привлекают производную второго порядка. Имеет место следующая формула Тейлора:

где а — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Д2х.

Рассматривая эту формулу в начале координат (в этом случае Ах = х), получаем формулу Маклорена:

Таким образом, при малых по модулю значенияхх данная функция приближенно равна квадратному трехчлену.

Пвимеоы

Правило Лопиталя. Еще одним достойным приложением производных является то, что они применяются для раскрытия неопределенностей. Такую возможность предоставляет теорема Лопиталя, суть которой состоит в том, что предел отношения функций, содержащих неопределенность 0 °°

типа g или —, заменяется пределом отношения из производных:

10.4.5. Исследование функции с помощью производных

Перечислим правила, позволяющие, используя связь между свойствами функций и их производных, применять производные для исследования функций и построения графиков.

Интервалы монотонности

Определение 10.24. Значения аргумента, при которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки непрерывности функции, в которых производная не существует, называются критическими точками.

Критические точки и точки разрыва разбивают область определения функции на интервалы положительности и интервалы отрицательности производной.

Правило 10.1. На интервале положительности производной функция возрастает, а на интервале отрицательности — убывает.

Правило 10.2. В критической точке, отделяющей интервал возрастания от интервала убывания, функция имеет максимум; если же интервалы монотонности расположены в обратном порядке, то в граничной точке — минимум.

Для доказательства первого правила воспользуемся формулой конечных приращений:

Полагая, что точки х и х + Ах принадлежат интервалу, во всех точках которого производная положительна, замечаем, что знаки приращений аргумента и функции совпадают, — а это и означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. на данном интервале функция возрастает. Аналогично устанавливается, что на интервале отрицательности производной функция убывает.

Второе правило вполне очевидно.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Определение 10.25. Кривая называется выпуклой на интервале, если в каждой точке этого интервала существует (не вертикальная) касательная и кривая расположена под касательной; если кривая располагается над касательной, то она называется вогнутой. Граничная точка между интервалами выпуклости и вогнутости, в которой кривая имеет касательную и располагается по разные стороны от касательной, называется точкой перегиба.

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции исследуются с помощью производной второго порядка.

Правило 10.3. На интервале отрицательности производной второго порядка график функции выпуклый, а на интервале положительности - вогнутый.

Правило 10.4. Для того чтобы граничная точка была точкой перегиба, необходимо, чтобы в этой точке производная второго порядка равнялась нулю.

Для доказательства этих правил мы отсылаем читателя к более подробным руководствам по математическому анализу.

Установив характерные особенности поведения функции и ее графика в конечной части плоскости, не менее важно знать, как ведет себя функция (и ее график) на бесконечности — при неограниченном возрастании аргумента (естественно, если область определения функции справа или слева не ограничена).

Если lim /(.г) = а, то график функции неограниченно приближается

X *00

к прямой у = а, которая и называется горизонтальной асимптотой. Если же этот предел бесконечен, то возникает вопрос о наклонной асимптоте. Ее уравнение ищут в виде у = kx + b.

Угловой коэффициент k и свободный член b определяют последователь- f(x)

но по формулам: k = lim -—- или k = lim b = lim [/(x) - kx.

X *oo X X *oo Д—»oo

Если хотя бы один из этих пределов не существует, то наклонной асимптоты нет. Наклонная асимптота очень важна, так как говорит нам о поведении функции на бесконечности и позволяет нам обнаружить такие свойства графика функции, которые трудно уловить, непосредственно придавая аргументу сколь угодно большие (по модулю) числовые значения. Найдя наклонную асимптоту, мы вправе при больших значениях аргумента приближенно заменить данную нам функцию наиболее простой из всех функций — а именно линейной, геометрическим образом которой и является наклонная асимптота — прямая линия, к которой график приближается сколь угодно близко при неограниченном возрастании х.

Напомним, что прямая у = х0 является вертикальной асимптотой графика функции у =f(x) при условии, что lim /(х) = °о.

Л ""1“Л0

В заключение этого подраздела приведем общую схему исследования функций и построения их графиков. Для этого необходимо найти следующее:

  • 1) область определения функции;
  • 2) точки разрыва функции;
  • 3) интервалы возрастания и убывания функции;
  • 4) максимумы и минимумы;
  • 5) выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба;
  • 6) асимптоты.

Кроме того, необходимо учитывать четность (или нечетность) функции, периодичность, точки пересечения графика с осями ординат.

Используя результаты исследования, построить график функции. При необходимости уточнить отдельные участки кривой, можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >