Математические операции над случайными величинами

Введем понятие независимости случайных величин. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Так, если дискретная случайная величина X может принимать значения х} (i= 1, 2,..., п), а случайная величина Y — значения у} (j = 1, 2,..., т), то независимость дискретных случайных величин X и Y означает независимость событий X = xi и Y = у- при любых i = 1, 2,..., nwj = 1, 2,..., т. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Например, если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то случайные величины X и У, выражающие соответственно выигрыш по каждому билету (в денежных единицах), будут независимыми, так как при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при X = X;) закон распределения выигрыша по другому билету (У) не изменится. Если же случайные величины X и У выражают выигрыш по билетам одной денежной лотереи, то в этом случае X и У являются зависимыми, ибо любой выигрыш по одному билету (X = х}) приводит к изменению вероятностей выигрыша по другому билету (У), т.е. к изменению закона распределения У.

Определим математические операции над дискретными случайными величинами.

Пусть даны две случайные величины X и У:

хх

Х'2

х

Pi

Рх

Рг

Рп

У,

Ух

У2

У»

Pi

Рх

Рг

Рп

Произведением kX случайной величины X на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения face теми же вероятностями р- (i = 1, 2,..., п)

т-й степенью случайной величины X, т.е. Хт> называется случайная величина, которая принимает значения х™ с теми же вероятностями р. (i = 1,2,..., п).

Пример 12.17. Дана случайная величина:

х,

-2

1

2

Pi

0,5

0,3

0,2

Найти закон распределения случайных величин: а) У = ЗХ; б) Z = х2. Решение, а) Значения случайной величины У: 3(-2) = -6; 31 = 3; 3 -2 = 6, с теми же вероятностями 0,5; 0,3; 0,2, т.е.

У,

-6

3

6

Pi

0,5

0,3

0,2

б) Значения случайной величины Zбудут: (-2)2= 4,12= 1,22 = 4 с теми же вероятностями 0,5; 0,3; 0,2. Так как значение х= 4 может быть получено возведением в квадрат значений (-2) с вероятностью 0,5 и (+2) с вероятностью 0,2, то по теореме сложения P(z = 4) = 0,5 + 0,2 = 0,7. Итак, закон распределения случайной величины:

2,

1

4

Pi

0,3

0,7

Суммой (разностью или произведением) случайных величин X и У называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида х- + у^ (xi - у. или xi у-), где i= 1,2,..., nwj= 1,2,..., т, с вероятностями р~ того, что случайная величина X примет значение 1, аУ - значение уу

Если случайные величины X и Y независимы, т.с. независимы любые события X = Х-, Y = у, то но теореме умножения вероятностей для независимых событий

Замечание. Приведенные выше определения операций над дискретными случайными величинами нуждаются в уточнении, так как в ряде случаев одни и тс же значения х", .у ± у}, Х: У( могут получаться разными способами при различных значениях ^ и yjt вообще говоря, с различными вероятностями pjt рг

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >