Понятие и определение случайного процесса. Классификация случайных процессов

Теорией случайных процессов называется математическая наука, предметом изучения которой являются закономерности случайных явлений в динамике их изменения.

Теория случайных процессов (ТСП), а в другой терминологии — теория случайных функций, является разделом теории вероятностей, особенно востребованным в последние десятилетия, что связано со все расширяющимся спектром областей его практических приложений.

Случайным процессом {Х(?), t е Т}, называют семейство случайных величин (СВ), определенных на некотором вероятностном пространстве {Q, В, Р}9 Q = {со}.

Семейство СВ {Xt = X(t, со)}, составляющих СП, можно рассматривать как одну функцию двух переменных — времени t и элементарного события со,определяющего значения всех СВ этого семейства.

Если со фиксировано, то значения X(t, со) отображают собой явления окружающего мира, с ними мы часто сталкиваемся как с процессами, ход течения которых предсказать в точности невозможно. Эта неопределенность и непредсказуемость обусловлена влиянием случайных факторов, воздействующих на процесс и определяющих его ход.

Рассмотрим ряд примеров подобных процессов.

  • 1. Поминально постоянное и равное 220 В напряжение в обычной электросети на самом деле меняется во времени под влиянием случайных факторов, к которым относятся число и виды включенных в сеть устройств, моменты времени их включений/выключений и т.д.
  • 2. Число жителей и их состав в городе (или области, округе) меняется с течением времени случайным (непредсказуемым) образом под влиянием многих факторов, таких как экономическая и демографическая ситуация, миграция и т.д.
  • 3. Уровень воды в реках (озерах, водохранилищах) меняется во времени случайным образом, он зависит от климатических условий, погоды, количества и интенсивности осадков, оросительных мероприятий и т.д.
  • 4. Частицы, совершающие броуновское тепловое движение, меняют свои положения случайным образом в результате соударений с молекулами жидкости, стенками сосуда и т.п.
  • 5. I [роисходит полет космической ракеты, которую необходимо вывести в заданный момент в заданную точку пространства с заданными наиравлением и абсолютным значением вектора скорости. Траектория движения ракеты в реальности не совпадает с расчетной из-за таких случайных факторов, как турбулентность воздушных потоков, неоднородность горючего, ошибки в расчетах, отработке команд и т.д.
  • 6. ЭВМ в ходе работы может случайным образом переходить из состояния в состояние, например:
  • 5, — работает исправно;

,v2 — имеется неисправность, но она не обнаружена;

,v;j — неисправность обнаружена, ведется поиск ее источника;

4 — ремонтируется и т.д.

Переходы из одного состояния в другое происходят под действием случайных факторов, таких как выход из строя отдельных компонентов, вариации напряжения в сети питания, моменты выявления неисправностей и их устранения и т.д.

В природе не существует совершенно неслучайных, в точности детерминированных процессов. Есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют слабо, так что при изучении явления или процесса эти влияния можно не учитывать (например, процессы обращения планет и метеоритов в Солнечной системе). Но существуют и другие процессы, в них случайность играет основную роль (например, процесс броуновского движения частиц).

Между двумя крайними случаями можно выделить множество процессов, в которых случайность играет большую или меньшую роль. Учитывать или не учитывать случайность в них — это зависит во многом от того, какую задачу мы решаем. Например, при составлении расписания движения транспортных средств между пунктами можно считать их траектории постоянными, движение — равномерным; однако эти допущения не годятся, если решается задача разработки автопилота для управления самолетом.

Случайный процесс в любой физической системе S представляет собой случайные переходы системы из состояния в состояние. Состояние системы может быть охарактеризовано с помощью неких переменных: в простейшем случае — одной, в более сложных — нескольких.

Обратимся к изложенным выше примерам. В примере 1 процесс описывается одной переменной (напряжением случайным образом меняющейся во времени. В примере 2 население города N(t) меняется во времени случайным образом. И в примере 3 случайный процесс можно охарактеризовать одной функцией #(?)> где Я — уровень воды в реке. Все эти три функции — случайные функции времени t, при фиксированном t каждая из них превращается в обычную случайную величину, хорошо известную по книге [24].

В результате опыта, когда его проведение закончено, случайная функция превращается в обычную неслучайную функцию. Результатом непрерывного измерения напряжениия в электросети будет неслучайная функция 17(f).

Сложнее ситуация в примере 4, здесь уже состояние частицы характеризуется не одной, а двумя случайными функциями координат частицы Х{1) и Y(t) в поле зрения микроскопа.

Случайный процесс называется векторным в случае, когда его можно описать переменным случайным вектором с составляющими X(t), Y(t), меняющимися с течением времени. Для фиксированного значения аргумента t случайный процесс превращается в систему из двух случайных величин X(t) и Y(t)y которую можно представить в виде случайной точки, или случайного вектора Q(t), в плоскости хОу. Если изменять аргумент t, то точка Q(0 перемещается, блуждает по плоскости.

Еще более сложно дело обстоит в примере 5. В момент времени t состояние ракеты характеризуется не только тремя координатами X(t), Y(t), Z(t) центра массы ракеты, но и тремя составляющими ее скорости, тремя углами ориентации ракеты, угловыми скоростями движения вокруг центра массы, запасом топлива и т.п., т.е. это пример многомерного случайного процесса. В таком процессе блуждание точки, описывающей состояние системы в разные моменты времени ty происходит в многомерном пространстве. Сложности расчетов динамики протекания таких процессов с увеличением числа переменных (размерности) растут в большой степени.

Среди рассмотренных выше примеров особенно интересен пример 6. В нем состояние системы нс характеризуется какоми-либо численными величинами (или вектором), но описывается качественно, с помощью слов, случайный процесс сводится к блужданию по состояниям. Конечно, можно постараться искусственно свести этот процесс к процессу случайного изменения одного параметра X, приписав ему условно численное значение, равное, например, номеру состояния: 1, 2, 3, ... . По искусственность такого приема очевидна, ведь состояния можно пронумеровать в каком угодно произвольном порядке. И сведение процесса к такому численному представлению совсем не обязательно, да и мало что дает. Поскольку подобные процессы — процессы с качественными состояниями — встречаются довольно часто, для них выработаны специальные приемы описания и анализа.

При фиксированном значении аргумента t случайное состояние системы превращается в некоторый аналог случайного события — одно из возможных состояний, в котором система может находиться в момент времени t. Часто бывает, что множество таких состояний дискретно, т.е. конечно или счетно.

Теория случайных процессов используется в обширных предметных областях различных инженерных приложений. По мере непрерывного открытия новых научных истин, углубления и уточнения наших знаний об окружающем мире, всемерного усложнения технических устройств возникает необходимость все большее число процессов рассматривать как случайные, учитывая не только их усредненное поведение, но и поведение при возможных случайных отклонениях от этого усредненного. Поэтому все более возрастает роль теории случайных процессов. Для современного периода развития техники характерно широкое применение компьютеров, разнообразных ЭВМ, изделий микросистемной техники (МСТ), систем автоматизированного управления (САУ) производственными процессами, различных компьютеризированных систем регулирования и управления.

Работа любой сложной ТС связана со случайными изменениями параметров и характеристик протекающих в ней процессов, т.е. с возникновением и протеканием в ней случайного процесса. Грамотное проектирование таких систем, анализ их работы требуют знания основ теории случайных процессов, учета этих знаний в разработках ТС. В текущий и обозримый периоды времени практически все области человеческой деятельности связаны со случайными процессами, а значит, и с необходимостью их изучения и использования знаний в практической работе. Любое работающее техническое устройство находится под влиянием случайных факторов, в большей или меньшей степени влияющих на режим его работы, учет которых необходим.

В частности, все метеорологические характеристики (температура, давление, влажность, скорость и направление ветра, наличие излучений и т.д.) являются случайными процессами. Динамика развития и взаимодействия с окружающей средой биологических популяций также носит выраженные черты случайных процессов.

Хозяйственная деятельность человеческого социума также зависит от случайных факторов (метеоусловий, колебаний спроса и предложения, числа людей в производственных коллективах и т.п.), которые описываются с помощью тех или иных случайных процессов. Работа любой автоматизированной системы управления (АСУ) представляет собой случайный процесс, определяется случайными моментами поступления информации и запросов, случайными моментами возникновения отказов компонентов технических средств, ошибками операторов и т.п. Учет роста народонаселения необходим при проектировании новых жилых массивов, такой рост представляет собой случайный процесс, зависящий от многих факторов.

Из сказанного не следует, что теория случайных процессов — единственная в своем роде, математический аппарат которой пригоден для изучения таких явлений. Наряду с ним может применяться и обычный, детерминистский аппарат, в котором случайные факторы не учитываются. Но, пользуясь им, нужно не забывать, что он даст только приближенное, схематичное описание процесса, некоторое его среднее течение, относительно которого возможны (точнее, неизбежны) отклонения. При углубленном изучении процесса такие отклонения, как правило, приходится учитывать, для чего прибегают к аппарату теории случайных процессов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >