Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди
В коммерческой деятельности чаще встречаются СМО с ожиданием (очередью).
Рассмотрим простую одноканальную СМО с ограниченной очередью, в которой число мест в очереди т — фиксированная величина. Следовательно, заявка, поступившая в тот момент, когда все места в очереди заняты, не принимается к обслуживанию, не встает в очередь и покидает систему.
Граф этой СМО представлен на рис. 5.16 и совпадает с графом на рис. 5.4, описывающим процесс «рождения —гибели», с тем отличием, что при наличии только одного канала обслуживания все интенсивности потоков обслуживания равны.
Рис. 5.16
Состояния СМО можно представить следующим образом: So — канал обслуживания свободен;
S — канал обслуживания занят, но очереди нет;
S‘2 — канал обслуживания занят, в очереди стоит одна заявка;
— канал обслуживания занят, в очереди стоят две заявки;
Sm+1 — канал обслуживания занят, в очереди все т мест заняты, любая следующая заявка получает отказ.
Для описания случайного процесса СМО можно воспользоваться изложенными ранее правилами и формулами. Напишем выражения, определяющие предельные вероятности состояний
Выражение для /?0 можно в данном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит геометрическая прогрессия относительно р, тогда после соответствующих преобразований получаем
Эта формула справедлива для всех р, отличных от единицы, если же р = 1, то р0 = 1 /(т + 2), а все остальные вероятности также равны 1 /(т + 2). Если предположить т = 0, то мы переходим от рассмотрения одноканальной СМО с ожиданием к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами в обслуживании. Действительно, выражение для предельной вероятности ро в случае т = 0 имеет вид
и в случае X = р имеет величину р0 = 1/2.
Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускную способность, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.
Заявка получает отказ, если она поступает в момент времени, когда СМО уже находится в состоянии Sw+1 и, следовательно, все места в очереди т заняты и один канал обслуживает. Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появления состояния 5т+р
Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением
абсолютная пропускная способность равна
Среднее число заявок L04, стоящих в очереди на обслуживание, определяется математическим ожиданием случайной величины k — числа заявок, стоящих в очереди:
Случайная величина k принимает следующие только целочисленные значения:
- 1 — в очереди стоит одна заявка;
- 2 — в очереди две заявки;
т — в очереди все места заняты.
Вероятности этих значений определяются соответствующими вероятностями состояний, начиная с состояния S2. Закон распределения дискретной случайной величины k изображается следующим образом.
|
k |
1 |
2 |
т |
|
|
Pi |
Р2 |
Рз |
Рт+1 |
Математическое ожидание этой случайной величины
В общем случае при р ^ 1
эту сумму можно преобразовать, пользуясь моделями геометрической прогрессии, к более удобному виду
В частном случае при р = 1, когда все вероятности р}t оказываются равными, можно воспользоваться выражением для суммы членов числового ряда
Тогда получим формулу
Применяя аналогичные рассуждения и преобразования, можно показать, что среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди определяется формулами Литтла
Такой результат, когда оказывается, что Точ < /Х, может показаться странным: с увеличением интенсивности потока заявок как будто бы должны возрастать длина очереди и уменьшится среднее время ожидания. Однако следует иметь в виду, что, во-первых, величина Lm является функцией от X и р и, во-вторых, рассматриваемая СМО имеет ограниченную длину очереди — не более m заявок.
Заявка, поступившая в СМО в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, и, следовательно, время ее «ожидания» в СМО равно нулю. Это приводит в общем случае (при р ^ 1) к уменьшению Точ с ростом X, поскольку доля таких заявок с ростом X увеличивается.
Если отказаться от ограничения па длину очереди, т.е. устремить m —? °°, то случаи р < 1 и р > 1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду
При достаточно большом к вероятность стремится к нулю. Поэтому относительная пропускная способность будет Q= 1, а абсолютная пропускная способность станет равной А = XQ = X, следовательно, обслуживаются все поступившие заявки, причем средняя длина очереди окажется равной
а среднее время ожидания по формуле Литтла
В пределе р 1 получаем Точ = р/р, т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р > 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t —? °°). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q=1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем р и р, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.
В качестве одной из характеристик СМО используют среднее время Тшо пребывания заявки в СМО, включающее среднее время пребывания в очереди и среднее время обслуживания. Эта величина вычисляется по формулам Литтла: если длина очереди ограничена, то среднее число заявок, находящихся в очереди,
тогда среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания (как в очереди, так и под обслуживанием)
Пример 5.14. В магазине самообслуживания установлено, что поток покупателей является простейшим с интенсивностью X = 2 покупателя в минуту. В этом магазине установлен один кассовый аппарат, позволяющий добиться такой производительности труда, при которой интенсивность потока обслуживания составляет величину р = 2 покупателя в минуту. Определим характеристики СМО при условии, что очередь ограничена контролером при входе в зал самообслуживания: т = 5 покупателям.
Решение
В данном случае р = А,/р = 1, поэтому получаем, что все вероятности состояний СМО оказываются одинаковыми и равными
Вероятность отказа в обслуживании составляет
Относительная и абсолютная пропускные способности соответственно равны
Средняя длина очереди
Среднее время ожидания в очереди
Среднее время пребывания покупателя в системе
Таким образом, несмотря на то что интенсивность потока обслуживания равна интенсивности потока покупателей, по причине случайного характера этих процессов эффективность работы СМО оказывается существенно ниже, чем можно было ожидать, если исходить, например, из предположения, что заявки и обслуживание следуют синхронно во времени. Даже при наличии допустимой очереди из пяти покупателей вероятность отказа в обслуживании остается ощутимой, поскольку каждому седьмому покупателю отказывается в обслуживании. Среднее время пребывания покупателя у кассы втрое превышает значение 0,5 мин, которое было бы при равномерном следовании заявок и равномерном обслуживании.
Улучшение характеристик СМО происходит очень быстро, если уменьшить отношение Х/ц = Р- Уже ПРИ Р < 0,8 можно отказаться от ограничения на длину очереди. Если в условиях нашего примера увеличить интенсивность потока обслуживания только на 25%, т.е. установить р = 2,5 (покупателя в минуту) и соответственно р = 0,8 и принять т = °°, то получим СМО со следующими характеристиками: вероятность отказа ртк = 0; относительная пропускная способность Q = 1; абсолютная пропускная способность Л = XQ = 2 (покупателя в минуту); средняя длина очереди Lm = 3,2 (покупателя); среднее время пребывания у кассы ?о(-к. = 2 мин; среднее время пребывания в очереди Гоч =1,6 мин.
Такой режим работы СМО может явиться более предпочтительным но сравнению с режимом работы при р = 1 потому, что ни одному из покупателей нс отказывается в обслуживании, хотя длина очереди и время обслуживания в среднем несколько возрастают.
Пример 5.15. На автомойку в среднем за час приезжают три автомобиля. Если в очереди уже находятся два автомобиля, то вновь подъезжающие автомобили не желают терять времени в ожидании обслуживания и покидают мойку, поскольку среднее время мойки одного автомобиля составляет 20 мин, а мест для мойки всего одно. Необходимо провести анализ работы системы обслуживания с 900 до 2100 ч, если средняя стоимость мойки одного автомобиля составляет 70 руб.
Решение
у = 3 авт/ч; t0fc = 20 мин; т = 2; С = 70 руб.; = 12 ч; п = 1. Целевая функция связи выручки от мойки автомобилей с покупателями системы в общем виде имеет следующий вид:
Находим интенсивность обслуживания
Определяем интенсивность нагрузки
Предельные вероятности состояний равны
Вероятность отказа в обслуживании
Относительная пропускная способность
Абсолютная пропускная способность
Средняя длина очереди
Среднее время простоя в очереди
Среднее число заявок, находящихся на обслуживании
Среднее число заявок в системе
Среднее время пребывания автомобиля в системе обслуживания мойки
Таким образом, средняя доля потерянных заявок равна 25% из числа поступивших, что при круглосуточном режиме работы составит 3 • 24 • 0,25 =18 авт., что приведет к потере выручки от обслуживания в сумме 1260 руб.
Пример 5.16. Провести анализ работы в СМО при изменении одного условия в примере 5.15 — интенсивности приезда автомобилей на мойку до шести автомобилей в час.
Решение
Л. = 6 авт/ч; t0бс = 20 мин; т = 2; ц = 3 авт/ч; С) = 70 руб.; = 12 ч; п = 1.
Определяем интенсивность нагрузки
Определяем долю времени простоя мойки
Определяем вероятность отказа
Относительная пропускная способность равна
Абсолютная пропускная способность равна
Среднее число автомобилей в очереди
Среднее число автомобилей в мойке
Среднее число автомобилей в системе
Среднее время ожидания автомобиля в очереди
Среднее время пребывания автомобиля в системе
Таким образом, велика доля заявок, получивших отказ в обслуживании, ротк = 0,5, следовательно, 50% из числа поступивших автомобилей получают отказ в мойке автомобилей. Если учитывать время работы с 9 до 21 — всего 12 часов, то за это время количество потерянных заявок составит: ^-12- 0,5 = 6-12- 0,5 = 36 авт., а потеря выручки — 36-70 = 2520 руб.
Пример 5.17. Преподаватель на экзамене по дисциплине «Прикладная математика» представляет собой одноканальную систему с ограниченной длиной очереди без отказа в обслуживании учебной группы студентов. В качестве критерия целевой функции может быть время, затраченное на прием экзаменов
где т — количество студентов; ?, — время, затраченное на прием экзамена у г-го студента.
Допустим, по существующим нормам на прием экзамена у одного студента отведено ?Цбс = 20 мин. Следовательно, если группа состоит из т.= 18 студентов, то преподаватель фиксирует выполнение учебной нагрузки в объеме 6 ч. Фактически эта процедура в целом занимает больше времени. Это связано прежде всего с необходимостью затрат времени на подготовку первого студента до 1 ч. Затем в первых рядах обычно идут сдавать экзамены «отличники» и «хорошисты». Замыкают поток заявок на обслуживание «троечники» и «двоечники», на которых, как правило, идут колоссальные затраты и времени, причем t ?{}бс, и энергии преподавателя, значительно превышающие нормативы. Поэтому общие затраты только времени фактически в лучшем случае в полтора раза больше нормы, причем за время проведения экзамена преподаватель не имеет права покинуть аудиторию.
Решение. Принимать экзамены письменно сразу у всех студентов, затем проверить все работы и в завершение в случае необходимости дать пояснения студентам по итогам экзамена.
