Операции с нечеткими множествами

Приведем определения нечетких теоретико-множественных операций Л. Заде[1] на подмножествах U(x) и примеры.

Пусть на универсальном множестве U заданы следующие нечеткие подмножества: А = {0,4/хх, 0,2/х2, 0/х3, 1/х4}; В = {0,7 /х{, 0,9/х2, 0,1/х3, 1/х4}; С = {0,1/^, 1/х2,0,2/х3, 0,9/х4}.

Дополнение нечеткого множества А — нечеткое множество А с функцией принадлежности р-(х) = 1_- рл(х) Ух е U.

Для наших данных имеем: А = {0,6/хх, 0,8/х2, 1/х3, 0/х4}; В = {0,3/хи 0,1/х2, 0,9/х3, 0/х4}; С = {0,9/х1? 0/х2, 0,8/х3, 0,1 /х4}.

Пересечение нечетких множеств А и В — нечеткое множество D = An В с функцией принадлежности pD(x) = тт(рл(х), рд(х)) Ухе U.

Для наших данных имеем: А п В = {0,4/хх , 0,2/х2, 0/х3, 1/х4}; В п С = = {0,1/xj , 0,9/х2, 0,1/х3, 0,9/х4}; А п С = {0у1/х] , 0,2/х2, 0/х3, 0,9/х4}.

Объединение нечетких множеств А и В — нечеткое множество D = Л и В с функцией принадлежности р/;(х) = тах(рл(х), р#(х)) Ухе U.

Для наших данных имеем: А и В = {0,7/хх, 0,9/х2, 0,1/х3, 1/х4}; В и С = = {0,7/х{, 1/х2, 0,2/х3, 1/х4}; А и С = {0,4/xj, 1/х2, 0,2/х3, 1/х4}.

Разность нечетких множеств А и В — нечеткое множество D = А В = = А п В с функцией принадлежности pD(x) = рЛВ = рЛп^(х) = тт(рл(х), 1 - рд(х)) Ух е U.

Для наших данных имеем: А В = {0,3/xj, 0,1/х2, 0/х3, 0/х4}; В А = = {0,6/хи 0,8/х2, 0,1/х3, 0/х4}.

Симметрическая разность нечетких множеств А и В — нечеткое множество С-А- В с функцией принадлежности рл_я(х) = | рл(х) - Ця(х) | Ух е U.

Для наших данных имеем: А - В = {0,3/xj, 0,72, 0,1/х3, 0/х4}; В - С = = {0,6/xj, 0,1/х2, 0,1/х3, 0,1/х4}; А - С={0,3/хх, 0,8/х2, 0,2/х3, 0,1/х4}.

Дизъюнктивная сумма нечетких множеств Л и В — нечеткое множество С = А ® В = (А В) и (В А) = (А п В) 'и (А п В) с функцией принад- лежности цс(х) = Мл©в(х) = max{min{p ,(A), 1 - цв(л)}; min{l - цл(х), цв(х)}} Ух е U.

Для наших данных имеем: Л © В = {0,6/xj, 0,8/х2, 0,1/х3, 0/х4}

Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения рл(х), на оси абсцисс расположены элементы U. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами. На рис. 6.9 показаны операции над нечеткими множествами[2].

Пусть Л — нечеткий интервал между 5 до 8 и В — нечеткое число около 4, как показано на рис. 6.10. Операции над этими множествами показаны на рис. 6.11.

Свойства операций пересечения и объединения нечетких множеств следующие[3].

Операции над нечеткими множествами

Рис. 6.9. Операции над нечеткими множествами:

а — дополнение (Л); 6 — пересечение п В); в — объединение и В) г — разность (Л В); д —симметрическая разность (Л - В) е — дизъюнктивная сумма (Л® В)

Ряд свойств совпадают со свойствами операций с предикатами в логике одноместных предикатов ЛпВ,ЛиВ (коммутативность; ассоциативность; дистрибутивность; идемпотентность).

Нечеткие множества А и В

Рис. 6.10. Нечеткие множества А и В

Операции над нечеткими множествами

Рис. 6.11. Операции над нечеткими множествами:

а — дополнение (Л); 6 — пересечение (А п В); в — объединение и В)

Выполняются законы дополнительного элемента, правила де Моргана. Некоторые отличаются с учетом характеристической функции. Имеем: Аи 0 = А, где_0 — пустое множество, т.е. х0(х) = 0 Ух е U;

АпА±0, AuA*U.

  • [1] Заде Л. Указ. соч.
  • [2] Рубанов В. Г., Филатов А. Г. Интеллектуальные системы автоматического управления. Нечеткое управление в технических системах : учеб, пособие. 2-е изд., стер. Белгород :Изд-во БГТУ им. В. Г. Шухова, 2010.
  • [3] Рыжов А. П. Элементы теории нечетких множеств и ее приложения. М.: Диалог-МГУ,2003.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >