Предположение о нормальном распределении случайной ошибки в рамках классической линейной регрессии

Проверка гипотез о конкретном значении, значимости и построение доверительных интервалов для коэффициентов множественной регрессии

Как и в случае парной регрессии, для того чтобы иметь возможность проверять статистические гипотезы, делается предположение о нормальности распределения ошибок. Если же нет оснований полагать, что распределение ошибок является нормальным, но количество наблюдений не является малым (превышает 100), то можно использовать те же статистики на основании результатов центральной предельной теоремы.

Утверждение 5.2. Если все ошибки имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и одинаковой дисперсией, т.е. zi ~ ~ JV(0; о[1]), i = 1,..., п, то МНК-оценки коэффициентов множественной регрессии также имеют нормальное распределение, причем р. ~ ДГ(р.; а[1]гХ)7^).

Гипотезы о конкретном значении коэффициента формулируются и проверяются аналогично случаю парной регрессию. Единственное отличие состоит в числе степеней свободы.

При проверке гипотезы Н{) р, = р{* может быть три альтернативные гипотезы:

  • 1) двусторонняя Я,: р, ^ р°;
  • 2) односторонняя Я,: р, > р°;
  • 3) односторонняя Я,: р, < Рр

Во всех случаях вычисляется одна и та же тестовая статистика t =

р. - р? ' „

= —;-, но на этот раз при выполнении гипотезы Я0 тестовая статистика

aPi

имеет распределение Стьюдента с (п - к - 1) степенями свободы. Данный статистический тест можно проводить для любого коэффициента модели.

При уровне значимости а правила выбора между гипотезами Я() и Я1 в трех вышеперечисленных случаях следующие:

1) если |?| > - к - 1), то гипотеза Я0 отвергается в пользу альтернативной;

2) если t > tf -к - 1), то гипотеза Я0 отвергается в пользу альтернативной;

3) если t < -t?(n -к- 1), то гипотеза Я0 отвергается в пользу альтернативной.

Гипотеза о значимости j-го (J = 0, 1,..., к) коэффициента множественной регрессии

также проверяется аналогично случаю парной регрессии.

Р'

Тестовая статистика имеет вид t = ~г~. Эта гипотеза отвергается при вы

%

бранном уровне значимости а, если > tffin - к - 1). В этом случае коэф фициент Р; является значимым.

^-Статистики и p-value для проверки гипотезы о значимости каждого из коэффициентов множественной регрессии выдаются статистическими пакетами.

Доверительные интервалы для коэффициентов множественной регрессии также определяются аналогично случаю парной регрессии (различаются только степени свободы в ^-статистике).

(1 - а) - 100%-ный доверительный интервал для коэффициента Р; имеет вид

  • [1] Доказательство утверждения можно найти в работе [12, с. 65—66].
  • [2] Доказательство утверждения можно найти в работе [12, с. 65—66].
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >