ДИНАМИКА. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Объемные и поверхностные силы. Тензор напряжений

В динамике сплошных сред рассматривают объемные Fv и поверхностные Fnoe силы. В области течения V выделим малые контрольные объемы А Г. На частицы, имеющие массу Ат = рА V, находящиеся в объеме AV, действует сила AFv. Вектором плотности объемной силы называют выражение:

а вектором плотности массовой силы:

Таким образом, из сопоставления (1.1) и (1.2) следует связь плотности объемной силы, отнесенной к единице объема fv и плотности массовой силы, отнесенной к единице

массы fm:

К силам, распределенным по объему, относятся силы тяжести, электромагнитные силы, действующие на заряженные частицы, движущиеся в электромагнитном поле, и др.

Поверхностными силами называют силы, которые приложены к частицам поверхности 5, ограничивающей объем V . Вектором напряжений, т. е. вектором плотности поверхностной силы, приложенной к малой площадке AS, имеющей внешнюю нормаль Я, называют

где AFnoe — поверхностная сила, действующая на элементарную площадку AS.

Вектор Рп зависит не только от координат и времени, но и от расположения площадки, которое определяется направлением нормали Я.

В области течения жидкости выделим малый контрольный объем (КО) AV в виде элементарного тетраэдра с высотой ON и площадью основания в виде треугольника АВС, имеющего объем AV = ^ASabc - ON (рис. 1.1). Введем декартову

систему координат (jcj,.^,.^ ) с координатами х = хх, у = х2,

Z = х3.

Согласно принципу Даламбера, сумма всех внешних ак-

dv л г/

тивных сил, действующих на тело, и сил инерции--рАУ

равна нулю в любой момент времени:

где Рп, —Рх = Рп, —Р, = Pi2, —Ру = Pjз — векторы поверхностных сил, отнесенных к единице поверхности, действующие в площадках с нормалями Я , —Я, = /,, — Я2 = /2 , — Я3 = /3,

Напряжения в 1ранях элементарного тетраэдра

Рис. 1.1. Напряжения в 1ранях элементарного тетраэдра

Устремим AF к нулю, так что высота ON ^ 0. В уравнении динамического равновесия (1.5) первое и последнее слагаемое имеют третий порядок малости, т. к. они пропорциональны AV и ASabc-ON, а остальные слагаемые имеют второй порядок малости, т. к. они пропорциональны площади грани ASABC. Оставляя в уравнении (1.5) только слагаемые второго порядка малости, получим:

Проектируя грань АВС на координатные плоскости, можно записать:

Обозначив косинусы углов cos(«,a:1) = «i, cos(п,х2) = п2, cos(/j,x3) = /?з, из (1.6) и (1.7) получим равенство Коши:

Соотношение (1.8) определяет напряжение в площадке с нормалью Я через напряжение в площадках с нормалями Я,,

Я2, «з •

Уравнение (1.8) можно записать в проекциях на оси декартовой системы координат х123:

В прямоугольных декартовых координатах (x,y,z) равенство Коши (1.8) записывают в виде:

В двойных подстрочных индексах равенств (1.9), (1.10) первый индекс обозначает координатную ось, к которой перпендикулярна рассматриваемая площадка, а второй индекс — ось, в направлении которой действует данное напряжение (рис. 1.2). Таким образом, ах = /},, о =Р22, о2Ъ7> — нормальные напряжения в площадках с нормалями, направленными по осям х, у и z, а, например, г = Рп — касательное напряжение в площадке с нормалью х, действующее в направлении оси у (рис. 1.2).

Нормальные o и касательные г, г,, напряжения в площадке с нормалью по оси у

Рис. 1.2. Нормальные ov и касательные г, г,, напряжения в площадке с нормалью по оси у

Наличие линейной связи (1.9) между проекциями двух физических векторов Рп и И позволяет ввести тензор второго ранга — тензор напряжений, компоненты которого представляют соответствующие нормальные и касательные напряжения Pj (/,/ = 1,2,3):

Равенству (1.9) соответствует умножение вектора п на тензор Р :

За величину давления Р в произвольной точке движущейся жидкости принимают среднее значение с обратным знаком нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку:

Касательные напряжения в линейной вязкой жидкости, следуя И. Ньютону, полагают пропорциональными произведению коэффициента динамической вязкости на скорость деформации скашивания соответствующего угла. Так, например:

где в xv — скорость деформации скашивания прямого жидкого угла в проекциях на плоскость хОу. Из выражений вида (1.12) следует закон парности касательных напряжений:

Аналогично, доказываемое условие парности касательных напряжений в плоскостях xOz, yOz:

и, следовательно, тензор напряжений — симметричный тензор

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >