Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow ТЕОРИЯ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В НЕФТЕГАЗОВЫХ И СТРОИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ
Посмотреть оригинал

Стационарная теплопроводность. простейшие теплотехнические формулы

2 Вывод этих формул приведен в учебном пособии [5].

Нестационарная теплопроводность

Нестационарный теплообмен имеет место в процессах нагревания и охлаждения тел, а также при периодическом изменении их теплового состояния. Дифференциальное одномерное уравнение нестационарной теплопроводности в твердых телах, как показано выше, имеет вид (формула (3.7')):

Для решения этого уравнения необходимо задать (исходя из физических соображений) начальные и граничные условия (см. выше формулы (3.10)-(3.15)). В зависимости от постановки задачи и краевых условий применяют различные методы решения нестационарного уравнения теплопроводности.

Методы решения нестационарных задач

Из аналитических методов чаще всего используются: 1) метод разделения переменных, 2) операторный (операционный) метод, 3) метод, основанный на использовании так называемого фундаментального решения уравнения теплопроводности. Если получить аналитическое решение не удается, используют численные методы.

При использовании метода разделения переменных температуру T(x,t) представляют в виде произведения двух функций: Т(х), зависящей только от пространственной координаты х, и Гг(0, зависящей только времени:

Подставляя (3.19) в (3.7'), получаем:

где для краткости применены обозначения: —— = Г2',

dt

А,

dx2 1 '

Разделим обе части уравнения (3.20) на аТТг-

Т. к. по определению левая часть полученного равенства зависит только от времени t, а правая — только от х, то, очевидно, равенство возможно только в том случае, если и левая, и правая части вообще ни от чего не зависят, т. е. равны некоторой константе, которую обозначим через -/?2:

Таким образом, получаем два уравнения для функций Т и Тг.

решения которых хорошо известны и имеют вид:

где константы А, В и /3 зависят от граничных условий, а константа С — от начального условия. Формулы (3.23) и (3.24) определяют, вообще говоря, бесконечно большое количество решений уравнений (3.21) и (3.22) (они называются частными решениями), различающихся значениями константы {3 и соответствующими значениями констант А, В и С. Общее решение является суммой (суперпозицией) всех этих частных решений. Чтобы получить решение конкретной задачи, надо выбрать только те частные решения, которые удовлетворяют граничным условиям задачи, и составить из них сходящийся ряд (он называется ряд Фурье). Таким образом, решение задачи получается, как правило, в виде бесконечного ряда, что обычно неудобно для практического применения. Подробно этот метод описан в учебнике [2].

Операторный (или операционный) метод основан на применении интегрального преобразования Лапласа и состоит в том, что изучается не сама функция («оригинал»), а ее видоизменение («изображение»). Это преобразование осуществляется при помощи умножения на экспоненциальную функцию и интегрирования ее в определенных пределах, поэтому данный метод часто называют интегральным преобразованием. Интегральное преобразование определяется формулой:

где /(г) — исходная функция («оригинал»), //.(.v) — ее изображение, s — некоторое комплексное число с положительной действительной частью.

После того, как задача решена в изображениях, выполняется обратное преобразование (т. е. нахождение оригинала по изображению) по формуле:

На практике обратное преобразование по формуле (3.26) приходится выполнять очень редко, т. к. в настоящее время составлены весьма подробные таблицы изображений, и надо лишь научиться ими пользоваться; это одно из важных преимуществ операционного метода по сравнению с методом разделения переменных. В то же время и этот метод дает точные решения, обычно в виде бесконечных рядов, что часто неудобно для практического применения. Подробно данный метод описан в учебном пособии [3].

Простым и имеющим наглядный физический смысл является метод, основанный на применении так называемого фундаментального решения уравнения теплопроводности. Нестационарное уравнение теплопроводности в неподвижной среде при отсутствии внутренних объемных источников тепла в декартовой системе координат, как указано выше, имеет вид:

Рассмотрим безграничное пространство, заполненное однородной неподвижной средой с плотностью р, теплоемкостью с и коэффициентом температуропроводности а. Пусть в этом пространстве в точке с координатами х у', z' в момент времени t' сработал (включился и сразу же выключился) мгновенный источник тепла, выделивший количество тепла, равное Q. Тогда температура в любой точке с координатами х, у, z в любой момент времени t > t' может быть определена по формуле:

Функция (3.27) ввиду ее чрезвычайной важности для приложений называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. В том, что эта функция является решением уравнения теплопроводности, проще всего убедиться непосредственной проверкой.

Свойства фундаментального решения: Если начало координат поместить в точку (х', у', z'), а отсчет времени начать с момента t то вид формулы (3.27) значительно упрощается:

где г1 = х2 + у2 + z2 — квадрат расстояния от источника (от начала координат) до точки наблюдения.

Если зафиксировать ряд моментов времени 0 < t < t2 < h и построить графики зависимости Т(г), то получатся кривые, вид которых изображен на рис. 3.3. В любой момент времени температура максимальна в начале координат (в точке, где находился источник тепла), и с увеличением расстояния от начала координат монотонно убывает.

Если теперь зафиксировать некоторую точку на расстоянии г от источника и проследить за изменением температуры в этой точке со временем, то получится зависимость T(t), вид которой изображен на рис. 3.4. Максимум температуры достигается в момент времени t = г/(6а), который можно определить, приравняв производную dT/dt нулю.

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Мгновенных точечных источников в природе и в технике не существует; любой реальный источник имеет конечные размеры и действует в течение конечного промежутка времени. Однако всегда можно мысленно разбить источник тепла на отдельные элементы, настолько малые, чтобы их можно было считать точечными, и, используя принцип суперпозиции, сложить температуры, создаваемые этими элементами (другими словами, проинтегрировать фундаментальное решение по координатам х', у', z' в пределах реальных размеров источника). Аналогично, отрезок времени, в течение которого действовал источник, можно разбить на множество бесконечно малых интервалов dt' и проинтегрировать фундаментальное решение по V от момента включения до момента выключения источника. При этом можно учесть, что различные элементы источника могут иметь различную мощность, которая к тому же может меняться со временем, т. е. решить множество практически важных задач. Если источники тепла имеют сложную форму и (или) их мощность меняется сложным образом, так что получить аналитическое решение не удается, можно применить методы численного интегрирования. Примеры применения этих идей приведены ниже. Подробно данный метод описан в книге [4].

Численный метод с использованием метода прогонки. Для решения уравнения (3.7) численным методом область О < х < L, в которой надо найти решение, разобьем на N мелких отрезков (шагов) длиной h. Граничные точки этих отрезков называются узлами. Обозначим буквой /' номер узла: О всего таких узлов будет N+1. Время также разобьем на малые промежутки (шаги) длиной г. Номер шага по времени обозначим буквой к. Решение задачи у нас получится приближенное, в виде значений температуры в узлах, которые будут меняться со временем с шагом г. На первый взгляд кажется очевидным, что чем мельче шаги по координате и по времени, тем точнее будет решение. На самом деле это не совсем так. Если взять шаги по координате слишком мелкими, то число узлов получится чрезмерно большим. Это приведет не только к увеличению продолжительности вычислений, но и к потере точности из-за накапливающейся ошибки округления. Для большинства практических задач число N в пределах нескольких сотен обычно вполне достаточно. Это же относится и к числу шагов по времени.

Заменим производные по времени и по координате их конечно-разностными аналогами:

и запишем уравнение (3.7') в конечно-разностном виде:

ат

где 1 < i < N — 1. Обозначим у = —, и после простых преоб-

h

разований получим:

Мы получили систему из N-1 взаимосвязанных уравнений для неизвестных температур в N+1 узлах на шаге по времени A+I (температуры на предыдущем А'-м шаге должны быть известны; на самом первом шаге — это начальное условие). К этим уравнениям надо добавить граничные условия. Если это, например, условия 3-го рода, то их можно представить в виде:

где Тос (температура окружающей среды) и к ], лл (коэффициенты теплообмена) известны на каждом шаге по времени. Коэффициенты теплообмена здесь временно обозначены буквой к, чтобы не путать с коэффициентами прогонки, которые принято обозначать буквами аиД

Вместе с граничными условиями мы получили замкнутую систему из N+ уравнений для N+1 значений температуры в узлах. Решить эту систему можно различными способами. Если число N велико (десятки, сотни, тысячи), то одним из наиболее эффективных методов решения такой системы является метод прогонки, который заключается в следующем.

Запишем систему уравнений (3.28) в виде

а граничные условия (3.13') в виде:

где уо, Уь У2, y.v — неизвестные значения температуры на

(к+1)-м шаге по времени, а коэффициенты В„ С/, F,, х, Х2, /л, Ц2 выражаются через Тк, Тос, к, йл, Я, /?, у, и известны на каждом шаге по времени.

Будем искать решение в виде рекуррентного соотношения:

с неизвестными пока коэффициентами а, и Д, (они называются «коэффициентами прогонки»). Подставим (3.29) в (3.28'):

Для /-го узла соотношение (3.29) имеет вид » = а11+] + Pi+i > подставим его в полученное равенство (3.29'):

Это уравнение будет справедливо для любых у,, если

Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов аж:

и рекуррентную формулу для коэффициентов Д/+1:

Чтобы вычислить все эти коэффициенты, надо найти их значения для i = 1. Для этого используем граничные условия. Из формулы (3.29) при /=1 имеем у0 = ахух + Д,, а из граничного условия у0 = Х У + /* ? Поэтому

Таким образом, по формулам (3.30), (3.30'), (3.31) и (3.32) можно вычислить вес коэффициенты а, и /?,., / = 1, 2,..., N. Процедура их вычисления называется прямым ходом прогонки.

Далее, из формулы (3.29) при i=N имеем yN- = aNyN + &n > а из граничного условия

yN = ХгУи- + М2 ? Отсюда находим

а затем по формуле (3.29) вычисляем все у,-, двигаясь по i от N-1 до 0; эта процедура называется обратным ходом прогонки.

Задача решена. Соберем все формулы прогонки, и еще раз запишем их в порядке использования:

  • 1) Щ=Х'>
  • 2) находим ai+, = В‘—, i = l,2,...,N-l;

с, ~ А,а,

3)

Aft A- f,

4) находим 0М = ' 1 , / = 1,2,..., А^ —1;

С,- - Да,-

мM2+X2Pn .

  • 3) SN л
  • 1 aN%2
  • 6) уы = а,у,- + Д,, i = N, N -1,..., 1,0.

Подробнее численные методы и процедура прогонки описаны в книгах [2, 8, 9].

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы