Нагрев или охлаждение полуограниченного стержня

Полуограниченный стержень находится в тепловом равновесии с окружающей средой (жидкой или газообразной), т. е. начальная температура стержня и окружающей среды одинаковы и равны То = const. В момент времени t = 0 «ближний» конец стержня л: = 0 скачком (т. е. очень быстро) нагревают до температуры Тс, а затем поддерживают при этой постоянной температуре. Стержень начинает прогреваться с «ближнего» конца, между его боковой поверхностью и окружающей средой возникает разность температур, и начинается теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (граничное условие третьего рода) с коэффициентом теплообмена а. Стержень не обязательно должен иметь круглое сечение.

Оно может быть квадратным, прямоугольным, эллиптическим — каким угодно, но все размеры, определяющие это сечение, должны быть малы по сравнению с длиной стержня. Тогда изменением температуры по сечению стержня можно пренебречь, и считать, что температура меняется только по длине стержня х. Требуется найти это распределение температуры по длине стержня в любой момент времени T(x,t). Очевидно, эта температура будет монотонно уменьшаться с ростом х и стремиться к То при х -> °°, т. к. второй («дальний») конец стержня по определению находится бесконечно далеко (стержень «полуограниченный»).

Решение этой задачи имеет вид:

где h = SIP — характерный размер данной задачи: отношение площади сечения стержня к периметру сечения. Например, если стержень имеет круглое сечение диаметра d, то его площадь равна S = pd2 / 4, а периметр Р— pd, поэтому для такого стержня h = d / 4 . Если стержень имеет квадратное сечение со стороной а, то S = а2, Р = 4а, h = а / 4 и т. д. Относительная безразмерная температура в, как и выше, связана с искомой температурой T(x,t) формулой (3.43). Если теплообмен с окружающей средой отсутствует (боковая поверхность стержня теплоизолирована), т. е. а = 0, то из (3.44) получается решение, совпадающее с формулой (3.41), — решение для полуограниченного тела, когда температура ограничивающей поверхности постоянна и равна Тс. Если время прогрева из (3.44) получаем стационарное состояние

с экспоненциальным распределением температуры:

При выводе формулы (3.44') учтено, что, по определению, erf(оо) = 1, a erf(- °о) = -1. Поэтому еф{°°) = 0, a erfc(— °°) = 2.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >