Нагрев или охлаждение неограниченной плоской пластины (стены)

Под неограниченной понимают пластину (стену), ширина и высота которой много больше ее толщины. Изменение температуры в ней учитывается только по толщине (по оси х), а в направлениях у и z изменением температуры пренебрегают. Рассмотрим наиболее важные (с практической точки зрения) случаи нагрева или охлаждения такой пластины. Для обобщения приводимых формул на возможно большее число конкретных задач будем использовать следующие обозначения: число Фурье (безразмерное время) Fo = at / L2, безразмерная координата X = х/L, критерий Био Bi = а-ЫЯ, где а — коэффициент теплообмена, Я, а — коэффициенты тепло- и температуропроводности вещества пластины соответственно, t — обычное время (в секундах), д: — обычная координата (в метрах), L — толщина пластины.

Граничные условия первого рода. Начальная температура пластины толщиной L равна То = const. В момент времени t = 0 на ее поверхности дг = 0 скачком устанавливается, а затем поддерживается постоянная температура Т, а на поверхности х = L поддерживается начальная температура То. Требуется найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени T(x,t). Точное решение этой задачи выражается с помощью бесконечного ряда, что неудобно для практических расчетов. Для инженерных расчетов используют приближенные формулы, точность которых ~ 1 %:

Для малых чисел Фурье (Fo <0.1):

Для чисел Фурье Fo > 0.1:

При Fo-*оо, как видно из формулы (3.45'), распределение температуры стремится, как и должно быть, к линейному стационарному распределению.

Граничные условия третьего рода. Начальная температура пластины толщиной L равна То = const. В момент времени / = 0 на ее поверхностях х = 0 и х = L начинается теплообмен с окружающей средой с коэффициентом теплообмена а. Температура окружающей среды около разных поверхностей может быть разной: Т при х = 0 и Гг при х = L. Требуется найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени Т(х, t). Точное решение этой задачи выражается с помощью бесконечных функциональных рядов и мало пригодно для практических расчетов. Для инженерных расчетов можно рекомендовать приближенную формулу [10]:

где вспомогательный параметр D вычисляется по формуле: D= 5(Bi + 3)-Bi 2Bi2 +105/+ 15 '

Формула (3.46) универсальна: она пригодна как для симметричного = 73), так и для несимметричного (Т ^ Т2), нагрева или охлаждения пластины. Точность этой формулы зависит от числа Фурье. При Fo > 0.3 погрешность составляет менее 1%. При Fo-»oо формула (3.46) дает точное стационарное распределение температуры, как и должно быть. При малых числах Фурье (Fo < 0.3) погрешность увеличивается до 5%.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >