Нагрев или охлаждение неограниченного полого цилиндра

Неограниченный полый цилиндр — это, другими словами, труба большой длины, характеризующаяся двумя радиусами: R1 — внутренний радиус трубы и Т?2 — внешний радиус. В двух задачах, которые мы рассмотрим ниже, требуется найти распределение температуры внутри стенки трубы, т. с. в области 7?, < г < R2 в любой момент времени: T(r,f) в области У?, < г < R2. Будем использовать следующие обозначения: число Фурье (безразмерное время) Fo = atKR.2 - R)2, критерий

Био Bi = a -{R.2 - R)/k, где Я, а — коэффициенты тепло- и температуропроводности материала трубы соответственно, t — обычное время (в секундах), отношение радиусов

k = R2/Ri > 1.

Задача 1. Неограниченный полый цилиндр (труба большой длины) находится в тепловом равновесии с окружающей средой, имеющей температуру Тс, т. е. начальная температура трубы То = Тс. В момент времени t = 0 внутри цилиндра начинает работать источник тепла с постоянной мощностью, создающий тепловой поток с плотностью q через внутреннюю поверхность трубы. Труба начинает нагреваться, и возникает теплообмен между ее внешней поверхностью и окружающей средой; коэффициент теплообмена а. Требуется найти распределение температуры по толщине стенки трубы в любой момент времени: T(r,t).

Приближенное решение этой задачи, пригодное для практических расчетов, имеет вид [10]:

где вспомогательные параметры А, С, D вычисляется по формулам:

Формула (3.48) пригодна как для нагрева, так и для охлаждения шара. Точность этой формулы зависит от критерия Био и числа Фурье: при увеличении критерия Био и уменьшении числа Фурье погрешность возрастает, но не превышает 6%. При Bi < 5 и Fo > 0.1 погрешность составляет менее 3%.

Задача 2. Начальная температура грубы не равна температуре окружающей среды: То ^ Тс. Внутренняя поверхность трубы теплоизолирована, а на внешней поверхности происходит теплообмен окружающей средой с коэффициентом теплообмена а. Вследствие этого труба остывает, если ее начальная температура То была больше температуры Тс, или нагревается, если То < Тс. Требуется найти распределение температуры по толщине стенки трубы в любой момент времени: T(r,t).

Приближенное решение этой задачи, пригодное для практических расчетов, имеет вид [10]:

где вспомогательные параметры А и D вычисляется по формулам:

В пределе при к -» °° (R2 = const, R -» 0) формула (3.49) совпадает с формулой (3.47) для распределения температуры в сплошном цилиндре при постоянных граничных условиях третьего рода, как и должно быть.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >