Общие свойства газов, состоящих из бозонов и фермионов

Рассмотрим идеальный газ, состоящий из частиц, не имеющих внутренней структуры. Частицы газа, в этом случае, совершают лишь поступательное движение с энергией e(p,q) = р1/2т и распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака принимают вид

где знак «+» относится к фермионам, «-» - к бозонам.

Величина dN = ndT определяет число частиц, находящихся в элементе фазового объема с1Г. Запишем его в виде

где величина g = 2s + (s - спиновое квантовое число) характеризует наличие спинового вырождения состояний: каждому состоянию с определенным значением спина (собственного момента импульса) S = hy]s(s +1) соответствует 2s +1 состояний, отличающихся значением проекции спина на ось z: Sz =hms(msпринимает значения от -5 до s через единицу - всего 2s +1 значение).

Так как энергии частиц газа не зависят от координат, то выражение для с1Г можно проинтегрировать по координатам, которые изменяются в пределах объема газа, и получить элемент объема в пространстве импульсов

Тогда величина

определяет число частиц, импульсы которых лежат в интервале ур + ф), а величина

- число частиц, энергии которых попадают в интервал (8, 8 + de). Проинтегрировав последнее выражение по всем возможным значениям энергии, мы получим, очевидно, полное число частиц в газе:

Если сделать замену переменных z = е/0, то (6.12) можно записать в виде соотношения

Эта формула определяет химический потенциал газа р как функцию температуры и плотности.

Внутренняя энергия газа определяется выражением

Вспомним теперь, что в §2 мы записали соотношение для термодинамического потенциала частиц газа, находящихся в k-м квантовом состоянии в виде[1] (по-прежнему, верхний знак относится к фермионам, нижний к бозонам)

Тогда, в силу аддитивности термодинамического потенциала, для газа в целом получим

По определению, термодинамический потенциал равен Q = -pV и мы получаем уравнение состояния идеального газа, состоящего из бозонов или фермионов:

Энергия газа, частицы которого подчиняются статистике Больц-

мана, определяется выражением Е = — NkT и для него из соотношения (6.16) получается хорошо знакомое уравнение состояния - уравнение Клапейрона-Менделеева: pV = NkT.

  • [1] См. формулы на с. 151 и 152.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >