Стационарные случайные функции

Случайную функцию X(t) называют стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно при всех значениях аргумента /, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов /, и /2.

Случайную функцию X(t) называют стационарной в узком смысле, если все характеристики этой функции (не только корреляционная функция) зависят только от разности аргументов /2 и t и не зависят от положения интервала /2—/, в области изменения аргумента.

Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле; обратное утверждение в общем случае неверно.

В корреляционной теории используются только две характеристики (математическое ожидание и корреляционная функция), поэтому далее будем рассматривать случайные функции, стационарные в широком смысле, причем будем называть их просто стационарными.

Корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента х = U - /->:

а ее дисперсия постоянна при всех значениях аргумента t и равна значению корреляционной функции при т = 0:

Среди стационарных случайных функций выделяют класс функций, для которых характерно свойство эргодичности, которое состоит в том, что все усредненные статистические характеристики одинаковы для всех сечений и все они эквивалентны статистическим характеристикам одной реализации, достаточно длинной по времени. Вследствие этого для эргодического случайного процесса среднее по множеству реализаций равно среднему по времени для любой достаточно длинной реализации.

Достаточное условие эргодичности случайной функции относительно математического ожидания состоит в том, что ее корреляционная функция Кх(х) при т -> °о стремится к нулю:

Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции относительно корреляционной функции состоит в гом, что

п Р

корреляционная функция случайной функции К(/, т) = Л(/)л(/+ т) при т -> °о стремится к нулю:

Для эргодической случайной функции

Для двух стационарных случайных эргодических функций X(t) и Y(t) при двух любых реализациях x(t) и y(t) взаимная корреляционная функция

или

Для эргодической случайной функции корреляционная функция приближенно вычисляется по одной реализации достаточно

Корреляционная функция, вычисляемая по одной реализации большой длительности Т

Рис. 8.4. Корреляционная функция, вычисляемая по одной реализации большой длительности Т

большой длительности 7следующим образом (рис. 8.4). Интервал разбивается на большое количество N (N » 100) малых промежутков времени А, т.е. Т- УУД. Корреляционную функцию вычисляют по формуле

При вычислении по этой формуле важно, чтобы величина N была больше m: чем больше /V, тем точнее результат расчета. Для ускорения расчетов в настоящее время создано большое количество приборов (корреляторов), автоматизирующих процесс вычислений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >