Модели решения экономических задач

Интерполяция и аппроксимация экспериментальных данных, линия тренда. Вывод аналитической модели функции но ее табличной модели

Интерполяция и аппроксимация, эмпирические функции. Если существует функциональная зависимость в табличной форме, то ее можно представить в виде аналитической функции. Подобранная приближенно эмпирическая функция, которая проходит через все таблично заданные точки, с достаточной точностью отображает поведение исходной функции. Аналитическая функция, подобранная таким образом, позволяет определять значения этой функции в точках (в рамках данного диапазона), где она не определена таблично. Этот процесс называется интерполяцией.

Построение приближенной функции, проходящей через все заданные точки и максимально близко к заданной непрерывной функции, называется аппроксимацией. Подбор эмпирической функции осуществляется выбором из всех функций на основе вычисленных параметров, входящих в эти функции, наиболее близко описывающих функциональную зависимость между изучаемыми величинами.

Характер экспериментальных данных влияет на выбор эмпирических функций, которые могут быть следующими:

  • - линейная - ах + b) — используется, когда экспериментальные данные изменяются относительно постоянно;
  • - полиноминалъная = а0 + ахх + а2х2 + ... + atlx") — экспериментальные данные попеременно возрастают и убывают;
  • - логарифмическая -а ? 1п(х) + Ь) экспериментальные данные первоначально стремительно возрастают или убывают, впоследствии постепенно стабилизируются;
  • - степенная = Ьх“) — скорость изменения экспериментальных данных постоянно увеличивается или уменьшается;
  • - экспоненциальная = Ьеах) — применяется для описания экспериментальных данных, скорость возрастания или убывания которых непрерывно растет.

Вывод аналитической функции по ее табличным данным. В MS Excel 2013 для определения интерполирующей формулы надо выполнить следующие действия.

  • 1. На основе имеющихся экспериментальных данных построить график зависимости функции от аргумента.
  • 2. Вывести контекстное меню для линии графика.
  • 3. Из списка команд контекстного меню выбрать команду Добавить линию тренда.
  • 4. В диалоговом окне Формат линии тренда на вкладке ПАРАМЕТРЫ ЛИНИИ ТРЕНДА определить характер изменения функции на графике и выбрать вид аппроксимирующей функции. Далее установить флажки в полях Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (/?л2).

Величина /?Л2 характеризует точность описания аппроксимирующей функцией экспериментальных данных, т.е. чем больше, тем точнее, и наоборот.

В результате вывода аналитической функции на диаграмме появится линия тренда (графическое отображение интерполирующей функции) и ее аналитический вид, со значением /?Л2 (величина достоверности аппроксимации).

Описанный процесс подбора интерполяционной функции рассмотрим на примере.

Пример 6.6

Сумма налоговых выплат по 2НДФЛ за период с 2009 по 2014 г. представлены на рис. 6.21. Необходимо подобрать интерполяционную функцию и выяснить характер изменения величин налоговых выплат.

Год

Сумма налоговых выплат, руб.

2009

130 000

2010

145 000

2011

151 000

2012

170 000

2013

181 500

2014

175 000

Рис. 6.21. Величины налоговых выплат

Решение

  • 1. В соответствии с рис. 6.21 постройте график.
  • 2. Отобразите диалоговое окно Формат линии тренда с помощью контекстного меню линии графика.
  • 3. По характеру изменения экспериментальных данных, в параметрах линии тренда выберите значение Полиноминалъная со степенью 4, установите флажки Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (ЛЛ2).

На диаграмме после нажатия кнопки Закрыть появятся линия тренда, аналитическая функция и величина достоверности аппроксимации — Кл2 (рис. 6.22).

Графическая модель функции у = 2л + х - 1
  • 2. Создайте область значений аргументов от -3 до 3 с шагом 0,3.
  • 3. Вычислите диапазон значения функции у для каждой из этих точек.
  • 4. Выделите вместе область заголовков, область аргументов и их значений, на ленте инструментов выберите вкладку ВСТАВКА.
  • 5. В группе команд Диаграммы выберите тип График и постройте график (рис. 6.23).
Графическая модель функции у = 2л + х - 1

Рис. 6.23. Графическая модель функции у = 2 + х - 1

Вычисление предела функции. Для нахождения предела функции в точке необходимо выполнить последовательность соответствующих действий, которую мы разберем на следующем примере.

Поимео 6.8

Решение

  • 1. В разных строках для одного столбца введите значения, достаточно близкие к точке 2 (слева — 1,999999999999 и справа — 2,000000000001) (рис. 6.24).
  • 2. Вычислите значения функции в этих точках.
  • 3. Найдите разность полученных значений.
Нахождение предела функции

Рис. 6.24. Нахождение предела функции

Значения функции в окрестностях точки 2 равны (подтверждается их разностью) — это означает, что предел функции в точке 2 существует и равен 1,7.

Вычисление корней функции одной переменной. Корнем аналитически заданной функции у = /(.г) называется точка, в которой функция принимает значение нуль. Разберем технологию нахождения корней функции на следующем примере.

Пример 6.9

Найдите корни функции у = х - х - 1 на отрезке [-1; 2] (интервал между точками 0,2).

Решение

Функция представляет собой полиномом второй степени и имеет не более двух корней. Создав область аргументов и значений функции в этих точках, необходимо определить интервалы аргументов, для которых значения функции имеют противоположный знак, т.е. пересекает ось абсцисс. Из созданной области видно, что на отрезке [-1; 2] данная функция два раза пересекает ось абсцисс. Скопируем в отдельную область значения (пары, аргумент и значение функции) — (-0,8; 0,44) и (1,6; -0,04). Для вычисления корней функции необходимо запустить инструмент Подбор параметра, затем настроить относительную погрешность вычислений (0,00001). Далее, поочередно для каждой пары выполните следующие действия.

  • 1. В поле Установить в ячейке укажите адрес ячейки, где находится значение функции (рис. 6.25).
  • 2. В поле Значение впишите число 0.
  • 3. В иоле Изменяя значение ячейки укажите ссылку па ячейку, в которой находится значение аргумента (ответ: Х = -0,62; х2 = 1,62).
Применение инструмента Подбор параметра для нахождения корней функции

Рис. 6.25. Применение инструмента Подбор параметра для нахождения корней функции

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >