Компьютерные технологии вероятностного и статистического анализа экономической информации

Вычисление числовых характеристик распределения вероятностей

Генерация дискретной случайной величины. При решении многих экономических задач и изучении закономерностей экономических процессов используются случайные величины. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода проводимых испытаний случайно принимает то или иное (одно) значение из множества возможных. В различных экономических задачах используются следующие виды случайных величин — дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, значения которой принимают только некоторые заранее определенные значения, т.е. которые можно посчитать. Примером дискретной случайной величины может служить число четных выпавших чисел при подбрасывании игральной кости. Возможные варианты выпавших чисел — множество, состоящее из чисел 2, 4, 6 — ограниченно. Таким образом, множество значений дискретной случайной величины — счетное множество.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из заданного числового отрезка. Примером непрерывной случайной величины может служить случайное число на отрезке a.

Законом (функцией) распределения случайной величины называется соответствие между значениями случайной величины, полученными в результате экспериментальных испытаний, и вероятностью появления этих значений. Закон распределения может быть задан таблицей, формулой или графиком.

Генерация случайной величины, распределенной по равномерному закону. Случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число значений с равными вероятностями, т.е. вероятность каждого из значений одна и та же. Вероятность дискретной случайной величины, распределенной по равномерному закону, можно вычислить с помощью следующей формулы:

где N — количество возможных значений дискретной случайной величины.

Для генерации дискретной случайной величины, распределенной по равномерному закону, в библиотеке табличного процессора Excel 2013 имеется функция =СЛЧИС(), в категории Математические. Функция СЛЧИС() не имеет аргументов, она генерирует равномерно распределенные случайные вещественные числа в диапазоне [0; 1), при этом число 0 включительно, а 1 исключительно. При каждом пересчете значений в Excel результаты, вычисленные с помощью функции СЛЧИС(), меняются.

Для генерации случайных чисел в другом диапазоне необходимо использовать формулу

где а минимальное число на интервале [а; b); b максимальное число на интервале [а; b).

Если нужно задать случайное целое число на отрезке [а; 6], чтобы при этом входила и верхняя граница, то можно использовать формулу

Однако для генерации целых случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке а; Ь], в библиотеке табличного процессора Excel есть особая функция

= СЛУЧМЕЖДУ (нижнграница; верхн_граница),

где нижн_граница — число, устанавливающее нижнюю границу отрезка [а; Ь, верхн_граница — число, устанавливающее верхнюю границу отрезка [«; Ь].

Как и в случае с функцией СЛЧИС(), при каждом пересчете значений в Excel результаты, вычисленные с помощью функций ЦЕЛОЕ(СЛЧИС() * * (b + 1 - а) + а) и СЛУЧМЕЖДУ (нижн граница; верхи граница), меняются.

Пример 7.4

Случайным образом создать массив из 15 чисел, распределенных равномерно на интервале [6; 27).

Решение

  • 1. На листе рабочей книги выделите 15 ячеек в одной строке или столбце, например, диапазон ячеек В2:В17.
  • 2. Введите формулу =СЛЧИС()*(27-6)+6.
  • 3. Нажмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Пример 7.5

Случайным образом создать массив из 22 целых чисел, распределенных равномерно на отрезке 114; 35].

Решение

  • 1. На листе рабочей книги выделите 22 ячейки в одной строке или столбце, например, диапазон ячеек В2:В23.
  • 2. Введите формулу =ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*(35+1-14)+14).
  • 3. Нажмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Пример 7.6

Случайным образом создать массив из 17 целых чисел, распределенных равномерно на отрезке [40; 85].

Решение

  • 1. На листе рабочей книги выделите ячейку В2.
  • 2. Нажмите кнопку вызова мастера функций | Д в строке формул стандартной панели.
  • 3. В открывшемся окне Вставка функции выберите категорию Математические, в разделе Выберите функцию выберите функцию СЛУЧМЕЖДУ.
  • 4. В окне Аргументы функции укажите следующие аргументы: нижн_граница — 40, верхн_граница — 85.
  • 5. Нажмите кнопку ОК.
  • 6. Скопируйте формулу из ячейки В2 в диапазон ячеек ВЗ:В18. В результате в диапазоне ячеек В2:В18 будут размещены числа, распределенные по равномерному закону на отрезке [40; 85].

Генерация случайных чисел, распределенных но другим законам.

В табличном процессоре Excel для генерации случайных чисел, распределенных по другим законам, используется инструмент Генерация случайных чисел. С помощью этого инструмента можно сгенерировать случайные числа, распределенные по следующим законам:

  • равномерное распределение. Данный инструмент позволяет генерировать заданное количество случайных чисел. По умолчанию числа генерируются в интервале (0; 1);
  • нормальное распределение — характеризуется средним значением и стандартным отклонением. Инструмент позволяет генерировать заданное количество случайных чисел, по умолчанию используется среднее значение 0 и стандартное отклонение 1;

биномиальное распределение — характеризуется вероятностью успеха для некоторого числа испытаний, например можно сгенерировать случайные двухальтернативные переменные по числу испытаний, сумма которых будет биномиальной случайной величиной;

  • дискретное распределение — характеризуется значением и соответствующим ему интервалом вероятности. Величины значений предварительно формируются в диапазоне ячеек в виде столбца, в смежном столбце правее первого указываются и соответствующие вероятности. Сумма вероятностей должна быть равна единице;
  • распределения Бернулли, Пуассона и модельное.

Для включения инструмента Генерация случайных чисел при первом обращении нужно выполнить следующие действия.

  • 1. Выполнить команду ФАЙЛ / Параметры / Надстройки.
  • 2. В разделе Управление выбрать пункт Надстройки Excel и нажать кнопку Перейти.
  • 3. В окне Надстройки установить флажок в поле Пакет анализа и нажать кнопку ОК.
  • 4. Выполнить команду ДАННЫЕ / Анализ / Анализ данных.
  • 5. В открывшемся окне Анализ данных (рис. 7.4) выбрать позицию Генерация случайных чисел — откроется диалоговое окно Генерация случайных чисел (рис. 7.5).
Окно Анализ данных

Рис. 7.4. Окно Анализ данных

Для включения инструмента Генерация случайных чисел при втором и последующем обращении нужно выполнить следующие действия.

  • 1. Выполнить команду ДАННЫЕ / Анализ / Анализ данных.
  • 2. В открывшемся окне Анализ данных (см. рис. 7.4) выбрать позицию Генерация случайных чисел — откроется диалоговое окно Генерация случайных чисел (см. рис. 7.5).
  • 3. В окне Генерация случайных чисел в поле Число переменных указывается количество столбцов, а в поле Число случайных величин — число случайных величин (количество строк) предполагаемого диапазона ячеек вставки случайных чисел. В поля раздела Параметры вводятся параметры выбранного распределения. В поле Случайное рассеивание вводится произвольное значение, для которого нужно генерировать случайные числа. В поля раздела Параметры вывода вводятся необходимые параметры вывода. Если данные предполагаются вывести в конкретном диапазоне ячеек, то в поле Выходной интервал необходимо ввести верхнюю левую ячейку выходного диапазона (по умолчанию будет браться ячейка А1). С помощью полей Новый рабочий лист и Новая рабочая книга можно вставить случайные числа на новый лист или в новой книге.
Окно Генерация случайных чисел

Рис. 7.5. Окно Генерация случайных чисел

Пример 7.7

Создать массив из 21 чисел, распределенных по равномерному закону на интервале (10; 40).

Решение

  • 1. Задайте команду ДАННЫЕ / Анализ / Анализ данных.
  • 2. В открывшемся окне Анализ данных (см. рис. 7.4) выберите позицию Генерация случайных чисел.
  • 3. Нажмите кнопку ОК.
  • 4. В открывшемся окне Генерация случайных чисел раскройте список Распределение и выберите из него Равномерное.
  • 5. В поле Число случайных чисел введите число 21.
  • 6. В поля Между группы Параметры введите 10 и 40.
  • 7. Установите переключатель на Выходной интервал и укажите ячейку рабочего листа, которая будет являться самой верхней левой ячейкой диапазона для вывода результатов, например ячейку В2.
  • 8. Нажмите кнопку ОК и в диапазоне В2:В22 будут выведены числа, распределенные по равномерному закону на интервале (10; 40) (рис. 7.6).
Результаты расчета для примера 7.7

Рис. 7.6. Результаты расчета для примера 7.7

Пример 7.8

Создать массив из 17 чисел, распределенных но нормальному закону с математическим ожиданием 6 и стандартным отклонением 3.

Решение

  • 1. Задайте команду ДАННЫЕ / Анализ / Анализ данных.
  • 2. В открывшемся окне Анализ данных (см. рис. 7.4) выберите позицию Генерация случайных чисел.
  • 3. Нажмите кнопку ОК.
  • 4. В открывшемся окне Генерация случайных чисел раскройте список Распределение и выберите из него Нормальное.
  • 5. В иоле Число случайных чисел введите число 17.
  • 6. В группу Параметры введите: Среднее — 6, Стандартное отклонение — 3.
  • 7. Установите переключатель на Выходной интервал и укажите ячейку рабочего листа, которая будет являться самой верхней левой ячейкой диапазона для вывода результатов, например ячейку В1.
  • 8. Нажмите кнопку ОК и в диапазоне В1:В17 будут выведены числа, распределенные по нормальному закону (рис. 7.7).

Вычисление числовых характеристик распределения вероятностей с помощью встроенных функций. Функция распределения случайной величины полностью характеризует случайную величину, однако иногда функция распределения неизвестна и на практике бывает достаточно описать случайную величину, указав ее отдельные числовые параметры, которые

до некоторой определенной степени характеризуют существенные показатели распределения случайной величины. К таким параметрам относятся: число, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего и др. Вычисление таких характеристик означает — выразить компактно, в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Все эти характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины. Среди числовых характеристик случайной величины можно выделить:

  • математическое ожидание (среднее значение), которое характеризует центр распределения вероятностей;
  • дисперсия, т.е. центральный момент случайной величины, характеризующий разброс случайной величины относительно математического ожидания;
  • средиеквадратическое отклонение, т.е. величина, равная корню квадратному из дисперсии.
Результаты расчета для примера 7.8

Рис. 7.7. Результаты расчета для примера 7.8

Для случайных величин, принимающих вещественные значения, используются такие числовые характеристики, как квантили. Квантилем Хр распределения случайной величины X с функцией распределения F(x) называется решение уравнения F(x) = р, где р — заданная вероятность.

Различают следующие квантили: медиану и квартили распределения. Квантиль, соответствующий значению р = 0,5, называется медианой. Квантиль, соответствующий значению р = 0,75, называют верхним квартилем. Квантиль, соответствующий значению р = 0,25, называют нижним квартилем. Квантиль, соответствующий значениям 0,01; 0,02; ...; 0,99, называют процентылем.

Для вычисления числовых характеристик распределения вероятностей в табличном процессоре Excel используются следующие функции: СРЗНАЧ, ДИСП.В, ДИСП.Г, СТАНДОТКЛОН.В, СТАНДОТКЛОН.Г, КВАРТИЛЬ.ВКЛ, ПРОЦЕНТИЛЬ.ВКЛ и др.

СРЗНАЧ(число1;число2;...) — возвращает математическое ожидание (среднее значение).

ДИСП.В(число1;число2;...) — оценивает дисперсию по выборке. Логические и текстовые значения игнорируются.

ДИСП.Г(число1;число2;...) — оценивает дисперсию по генеральной совокупности. Логические и текстовые значения игнорируются.

СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;...) — оценивает стандартное отклонение по выборке. Логические и текстовые значения игнорируются.

СТАНДОТКЛОП.Г(число1;число2;...) — оценивает стандартное отклонение по генеральной совокупности. Логические и текстовые значения игнорируются.

КВАРТИЛЬ. ВКЛ (массив; часть) — возвращает квартиль множества данных по значениям процентиля от 0 до 1 включительно. Массив — массив или диапазон ячеек с числовыми значениями, для которых определяется значение квартиля. Часть — значение: минимальное = 0; первый квартиль = 1; медиана = 2; третий квартиль = 3; максимальное значение = 4.

ПРОДЕНТИЛЬ.ВКЛ(массив; к) — возвращает к-й процентиль для значений диапазона, при к от 0 до 1 включительно. Массив — массив или диапазон с числовыми значениями, который определяет относительное положение, к — значение процентиля в интервале от 0 до 1 включительно.

Пример 7.9

Для случайных значений дискретной случайной величины 4, 17, 9, 2, 24, 18, 6, 16, 5,13,14, 7 требуется найти: математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение, верхний квартиль, нижний квартиль, медиану и квантиль со значением 0,35.

Решение

  • 1. В диапазон ячеек A1:D2 введите шапку таблицы, как показано на рис. 7.8.
  • 2. В диапазон ячеек АЗ:А14 введите заданные 12 чисел.
  • 3. Диапазон ячеек ВЗ:В9 заполните, как показано на рис. 7.8.
  • 4. Для нахождения математического ожидания установите курсор в ячейке СЗ. Задайте команду ФОРМУЛЫ / Библиотека функций, нажмите кнопку Другие функции и из раскрывшегося списка выберите пункт Статистические, далее из раскрывшегося списка функций выберите функцию СРЗНАЧ, в поле Число1 введите диапазон АЗ:А14. Нажмите кнопку ОК.
  • 5. Для нахождения дисперсии установите курсор в ячейке С4. Задайте команду ФОРМУЛЫ / Библиотека функций, нажмите кнопку Другие функции и из раскрывшегося списка выберите пункт Статистические, далее из раскрывшегося списка функций выберите функцию ДИСП.В, в ноле Число1 введите диапазон АЗ:А14. Нажмите кнопку ОК.
  • 6. Для нахождения стандартного отклонения установите курсор в ячейке С5. Задайте команду ФОРМУЛЫ / Библиотека функций, нажмите кнопку Другие функции и из раскрывшегося списка выберите пункт Статистические, далее из раскрывшегося списка функций выберите функцию СТАНОТКЛОП.В, в поле Число1 введите диапазон АЗ:А14. Нажмите кнопку ОК.
  • 7. Для нахождения верхней квартили установите курсор в ячейке С6. Задайте команду ФОРМУЛЫ / Библиотека функций, нажмите кнопку Другие функции и из раскрывшегося списка выберите пункт Статистические, далее из раскрывшегося списка функций выберите функцию КВАРТИЛЬ.ВКЛ, в ноле Массив введите диапазон АЗ:А14, в поле Часть введите число 3. Нажмите кнопку ОК.
Вычисление числовых характеристик для примера 7.9

Рис. 7.8. Вычисление числовых характеристик для примера 7.9

  • 8. Для нахождения нижней квартили установите курсор в ячейке С7. Задайте команду ФОРМУЛЫ / Библиотека функций, нажмите кнопку Другие функции и из раскрывшегося списка выберите пункт Статистические, далее из раскрывшегося списка функций выберите функцию КВАРТИЛЬ.ВКЛ, в поле Массив введите диапазон АЗ:А14, в поле Часть введите число 1. Нажмите кнопку ОК.
  • 9. Для нахождения медианы установите курсор в ячейке С8. Задайте команду ФОРМУЛЫ / Библиотека функций, нажмите кнопку Другие функции и из раскрывшегося списка выберите пункт Статистические, далее из раскрывшегося списка функций выберите функцию КВАРТИЛЬ.ВКЛ, в поле Массив введите диапазон АЗ:А14, в поле Часть введите число 2. Нажмите кнопку ОК.
  • 10. Для нахождения процептиля установите курсор в ячейке С9. Задайте команду ФОРМУЛЫ / Библиотека функций, нажмите кнопку Другие функции и из раскрывшегося списка выберите пункт Статистические, далее из раскрывшего списка функций выберите функцию ПРОЦЕНТИЛЬ.ВКЛ, в поле Массив введите диапазон АЗ:А14, в поле k введите число 0,35. Нажмите кнопку ОК.
  • 11. Расчертите таблицу, как показано на рис. 7.8.
  • 12. Ответы к заданиям 4—10 приводятся в диапазоне ячеек СЗ:С9, синтаксис функций в ячейках D3:D9.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >