Матричное представление тензора.

Составляющие тензор вектора можно записать через их компоненты:

Удобно представлять вектора в виде матриц-столбцов:

Как мы уже отмечали раньше, тензор мог быть представлен в виде строки из трех векторов V = х ру pz). Представляя вектора через их компоненты, получим матрицу, составленную из девяти скалярных компонентов:

В матричном представлении тензора его матрица строится по следующему правилу: ее столбцами являются компоненты векторов, составляющих этот тензор.

Эта матрица называется матрицей тензора V, а входящие в нее величины — компонентами тензора. Второй нижний индекс компонента тензора определяет тот вектор, которому этот компонент соответствует, а первый нижний индекс определяет ось проекции этого вектора.

Индексная запись векторов и тензоров.

Одним из преимуществ тензорного исчисления является предоставляемая им возможность легко и удобно переходить от одной системы координат к другой при записи физических соотношений. Для уменьшения громоздкости различных формул, появляющихся при преобразованиях координат, вводятся некоторые соглашения, применение которых позволяет в значительной степени упростить записи и сделать их более наглядными.

Во первых, для обозначения координат вместо привычных нам символов х, у, z используют индексную запись: х = у = Х2, z = = х3.

Базисные векторы представляются в индексной записи следующим образом: i = еi, j = е2, к = е3. В этой записи компоненты вектора помечаются индексом, отвечающим соответствующему координатному направлению a = ei a + в2 а 2 4- ез <23. Для компонентов тензора используются два индекса: рхх = pu, рху = Pi2> • • • и т.д.

В этих обозначениях вектора, представляющие тензор, будут иметь вид

Индексная форма матричной записи вектора а и тензора V :

Напомним, что первый индекс обозначает ось координат, на которую проектируется вектор, определяемый вторым индексом. Так, Р23 представляет проекцию на ось Оу третьего вектора р3 тензора Р = (PlP-2 Рз) ?

Применяется несколько вариантов сокращенного обозначения тензора. Часто используют принятые для матриц обозначения: латинскую прописную литеру или индексную форму компонента, ограниченную фигурными скобками. Иногда используют строчную литеру с двумя верхними чертами. Мы будем пользоваться различными формами, но чаще будем применять прописной латинский символ в каллиграфическом начертании. Итак, возможны следующие варианты:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >