Умножение тензора на вектор. Действие тензора.

Если мы представим вектор как матрицу-столбец, то но правилам матричного умножения можно определить произведения тензора на вектор и вектора на тензор:

в котором компоненты вектора 6 определяются по правилам матричного умножения ( bk = pkj(ij )• Данная операция с помощью тензора ставит в соответствие некоторому вектору а другой вектор b , зависящий как от исходного вектора а , так и от тензора V , выполняющее преобразование вектора а . Такую операцию часто называют действием тензора V па вектор а . Как мы увидим далее, эта операция имеет большое значение в различных приложениях тензорного и матричного исчислений.

Интересно отметить, что действие может быть представлено через транспонированные исходные объекты {V а)Т = а7 V1.

Действие тензора на вектор является операцией, результатом которой будет новый вектор: V а = Ь. Можно считать, что тензор Р, действуя на вектор а. изменяет его длину и направление.

Ортогональный тензор.

Тензор называется ортогональным, если он удовлетворяет соотношениям

Свойство ортогональности тензора сохраняется при переходе в другую систему координат.

Действие ортогонального тензора на вектор не изменяет его длины. Покажем, что в соотношении Qa = b вектора а и b имеют одинаковую длину, если Q является ортогональным вектором. Для этого проведем операцию транспонирования этого соотношения и умножим полученный результат справа на вектор b : (Qa)Tb = b1 Ь. В правой части получился квадрат длины вектора 6. Покажем, что выражение, стоящее в левой части, приводится к квадрату длины вектора a, что и будет означать неизменность длины вектора при действии на нет ортогональным тензором. Проведем эти преобразования:

Таким образом, квадраты длин векторов будут одинаковы, что и означает неизменность длины вектора при действии на него ортогонального тензора.

Если ортогональный тензор действует на два вектора а и а2 , то у векторов 61 = Qa и b2 = Qa2 , получившихся в результате такого действия, сохраняется угол между ними. Это легко устанавливается вычислением косинуса угла между исходными и преобразованными векторами. Отсюда следует, что если ортогональный тензор действует на векторное поле, то его действие приводит к повороту всех векторов поля на один и тот же угол при сохранении их дайны.

Имеется глубокая взаимосвязь между ортогональным тензором и матрицей ортогонального преобразования координат, в частности, элементы матрицы ортогонального тензора должны удовлетворять тем же условиям, налагаемым на компоненты, которые были описаны ранее.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >