ВОЛНЫ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ

Волновые решения

Одним из основных свойств математической модели среды является ответ на вопрос: существуют или отсутствуют волновые решения передача информации с конечной скоростью. Наличие волновых решений определяет такие важные понятия математической модели, как область влияния и область зависимости решения, требует особого внимания к постановке граничных условий. Математически волновые решения связаны с гиперболичностью системы уравнений и наличием у нее характеристических многообразий.

Уравнение вида

называется волновым. Часто его записывают в более компактном виде, используя для представления правой части оператор Лапласа А :

является решением волнового уравнения. Ее координата-аргумент у = Ыхх 4- пуУ + nzz)/c — t называется бегущей координатой.

Отметим, что, обозначая через г радиус-вектор точки на фазовом фронте волны, мы можем дать компактную запись бегущей координаты, используя скалярное произведение: у = п гt = = (пхх 4- ПуУ 4- nzz)/c—t. Для некоторого момента времени t выражение пхх 4- пуу 4- nzz —1 = const представляет прямую, имеющую нормаль п = (пх, пу, пг)Т . На этой прямой аргумент функции у

принимает постоянное значение, и, следовательно, решение волнового уравнения одинаково на всей прямой. Такую прямую называют фазовым фронтом бегущей плоской волны. Если мы перейдем к другому моменту времени t, то значение бегущей координаты не изменится, а фазовый фронт передвинется в новое положение, параллельное предыдущему. При непрерывном изменении времени фазовый фронт, на котором решение волнового уравнения принимает постоянное значение, будет двигаться в направлении вектора п со скоростью с. В этом случае говорят о бегущей плоской волне.

В технике и физике часто в качестве бегущих волн рассматривают не одиночное возмущение, а непрерывно поддерживаемую гармоническую волну, распространяющуюся в виде параллельного фронта со скоростью с. В некоторой точке пространства решение, определяемое такой волной, будет изменяться как etu,i, где ш круговая частота волнового процесса, связанная с длиной волны Л , периодом Т и скоростью ее распространения с соотношением и) = = 2тг/Т = 27гс/Л. Бегущая плоская гармоническая волна запишется в виде

Входящее в бегущую координату выражение к = пи;/с называют волновым вектором плоской гармонической волны, скаляр к = = и;/с — волновым числом. Бегущая монохроматическая волна запишется в этой символике как ф(х,у,г,Ь) = фое1^к'г~ш1К

Если рассматривается сложное волновое движение, то оно может быть представлено в виде бесконечной совокупности элементарных гармоник со спектральной плотностью фц(и;). Волновое решение в этом случае представляется интегралом Фурье:

Спектральный подход широко используется при изучении свойств колебательных и волновых процессов. Это связано со сравнительной простотой анализа поведения каждой из гармоник, возможностью разложения любого волнового процесса на гармонические составляющие.

Поэтому часто при изучении волновых процессов особое внимание уделяют поведению гармонической волны, полагая, что обобщение на случай произвольного волнового процесса можно осуществить на основе суперпозиции простых волновых решений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >