Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ
Посмотреть оригинал

Трехшарнирные арки

Аналитический расчет арок включает в себя определение опорных реакций и вычисление усилий в сечениях арки. Определение опорных реакций было подробно описано в подпараграфе 3.2.3. Поэтому задачей данного раздела является, главным образом, определение усилий.

Рассмотрим трехшарнирную арку с опорами на одном уровне и для сравнения — простую балку того же пролета и загруженную той же нагрузкой, что и арка (рис. 11.7, а).

Рис. 11.7

При определении вертикальных опорных реакций в арке и балке при помощи уравнений равновесия ?МЛ = 0 и ХМВ = 0 легко убедиться в том, что вертикальные реакции в балке и арке одинаковы:

Для определения распора воспользуемся одним из уравнений (3.8):

Первые четыре слагаемых в полученном выражении, с учетом (11.1), представляют собой выражение для изгибающего момента в сечении С простой балки, что дает возможность записать

Для определения усилий рассмотрим произвольное сечение k с координатами хк и ук и углом наклона к горизонту к (рис. 11.7, б), образованным касательной t к оси арки в сечении к.

На основании общих правил определения усилий в произвольном сечении стержневой расчетной схемы запишем

В полученных формулах

Выражения (11.6) представляют собой изгибающий момент и поперечную силу, соответственно, в сечении k простой балки.

Подставив (11.6) в (11.3)—(11.5), получим выражения для усилий в произвольном сечении трехшарнирной арки:

Выражения (11.7)—(11.9) свидетельствуют о том, что эпюры усилий в трехшарнирных арках криволинейны.

Применение записанных формул для расчета арки рассмотрим на конкретном примере.

Пример 11.3

Построить эпюры усилий для трехшарнирной арки, изображенной на рис. 11.8, а. Ось арки очерчена по квадратной параболе

с началом координат в левой опорной точке арки.

Решение. 1. Определим геометрические характеристики расчетных сечений арки. Принимаем шаг расчетных сечений арки Ах = 3,0 м.

Координаты расчетных сечений при принятом шаге определяются по заданному уравнению параболы.

Углы наклона касательных в расчетных сечениях определяем по их тангенсу

Тогда необходимые для применения формул (11.8) и (11.9) значения тригонометрических функций вычислим по зависимостям

Необходимые для расчета значения координат и тригонометрических функций для рассматриваемой арки представлены в табл. 11.1.

Геометрические характеристики сечений трехшарнирной арки (к примеру 11.3)

Таблица 11.1

Номер сечения

Ху м

у, м

tg

sin

сощк

0

0

0

0,668

0,554

0,832

1

3

1,75

0,500

0,449

0,394

2

6

3,0

0,334

0,317

0,948

3

9

3,75

0,167

0,165

0,986

Окончание табл. 11.1

Номер сечения

х, м

у, м

tg

sincp*

COS(p?

4

12

4,0

0

0

1

5

15

3,75

-0,167

-0,165

0,986

6

18

3,0

-0,334

-0,317

0,948

7

21

1,75

-0,500

-0,449

0,894

8

24

0

-0,668

-0,554

0,832

Рис. 11.8

Определение усилий в сечениях трехшарнирной арки (к примеру 11.3)

Номер

сечения

МЦ, кН-м

-н-ук

Мк, кН-м

QI’, кН

Q*C0S

-Я sin ф/,

0*.кн

- Q*siiup/;

—Я cos (р к

% кН

0

0

0

0

225

187

-174,51

12,49

-124,65

-262,08

-386,73

1

585

-551,25

33,75

165

147,51

-141,44

6,07

-74,09

-281,61

-355,70

2

990

-945

45

105

99,54

-99,86

-0,32

-33,29

-298,62

-331,91

3

1215

-1181,25

0

45

44,37

-51,98

-7,61

-7,43

-310,59

-318,02

4

1260

-1260

-146,25

-15

-15

0

-15

0

-315

-315

-75

-75

-75

5

1035

-1181,25

-135

-75

-73,95

51,98

-21,97

-12,38

-310,59

-322,97

6

810

-945

-146,25

-75

-71,1

99,86

28,76

-23,78

-298,62

-322,4

-135

-127,98

-28,12

-42,80

-341,42

7

405

-551,25

0

-135

-120,69

141,44

20,75

-60,62

-281,61

-342,23

8

0

0

-

-135

-112,32

174,51

62,19

-16,35

-262,08

-278,43

  • 2. Определим вертикальные опорные реакции
  • 1л/, = 0; 20 • 12 • 6 + 60 • 12 + 60 • 18 - VB-24 = 0, VB = 135 кН.

= 0; VA ? 24 - 20 • 12 • 18 - 60 • 12 - 60 ? 9 = 0, VA = 225 кН.

  • 3. Построим эпюры Q6 и М6 (см. рис. 11.8, а) и определим «балочные» усилия для каждого расчетного сечения.
  • 4. Определим распор в арке по формуле (11.2):

Н= 1260/4 = 315 кН.

5. Определим усилия в сечениях арки по формулам (11.7)—(11.9).

При ручном счете процесс вычисления усилий удобно проводить в табличной форме. Для рассматриваемой арки данные расчета приведены в табл. 11.2. По этим данным построены эпюры Л/, Q и N для арки (рис. 11.8, б).

Как видно из формул определения усилий в сечениях арки (11.7)— (11.9), арка по сравнению с простой балкой обладает определенными преимуществами. При одинаковых пролетах и нагрузках в сечениях арки изгибающие моменты меньше, чем в простой бачке. Следовательно, при прочих равных условиях поперечные сечения арки будут меньшими, и конструкция в целом может быть более экономичной по расходу материалов. В трехшарнирных арках существенное уменьшение изгибающих моментов имеет место в средней части пролета, где в балках, как правило, изгибающие моменты достигают наибольших значений. Поперечные силы в сечениях арки также меньше, чем в простой балке. Уменьшение изгибающих моментов и поперечных сил в арках обусловлено наличием распора. В то же время наличие распора приводит к появлению в сечениях арки продольных сжимающих сил. Однако, как показала практика, большинство строительных конструкционных материалов лучше работает на сжатие, чем па изгиб.

Понятие о рациональной оси трехшарнирной системы. Так как большинство строительных конструкционных материалов лучше работает на сжатие, нежели на изгиб, очевидно, что наиболее экономичными с точки зрения работы материала будут арки, в которых изгибающие моменты малы или равны нулю. Такие арки называют арками с рациональной осью очертания.

В качестве примера рассмотрим трехшарнирную арку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой (рис. 11.9, а).

В этом случае опорные реакции арки будут равны (рис. 11.9, б, в):

Для произвольного сечения арки с координатами (х, у) запишем выражение изгибающего момента на основании формулы (11.7):

Приравняв полученное выражение нулю, после несложных преобразований получим уравнение квадратной параболы:

Рис. 11.9

Следовательно, в параболической арке при действии равномерно распределенной нагрузки во всех сечениях арки изгибающие моменты равны нулю, т.е. для данного вида нагрузки параболическое очертание оси арки является рациональным. При вертикальной нагрузке все сечения такой арки работают только на сжатие.

Аналогично можно показать, что при действии радиальной равномерно распределенной нагрузки рациональным будет круговое очертание арки.

В общем случае рациональное очертание арки, как зависящее от вида действующей нагрузки, может быть и более сложным и содержать как криволинейные участки оси, так и ломаные.

Рис. 11.10

Таким образом, чтобы получить рациональное очертание арки или трехшарнирной системы для заданного вида нагрузки, достаточно построить эпюру изгибающих моментов М( все ее ординаты разделить на величину распора Н и, «перевернув» полученную кривую или ломаную линию, получить искомое очертание оси (рис. 11.10).

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы