Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ
Посмотреть оригинал

Основные теоремы строительной механики

Теоремы о взаимности возможных работ и взаимности возможных перемещений

Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 12.4), в каждом из которых произведем загружение в два этапа двумя внешними силами Fj и Fk для состояния 1 (рис. 12.4, а) в последовательности Fr Fk для состояния 2 (рис. 12.4, 6) — Fk, Fi.

Рис. 12.4 272

В состоянии 1 на первом этапе загрузим упругую систему силой Fjf статически возрастающей от нуля до своего конечного значения. При этом сила Ft совершит действительную работу на вызванном ею перемещении Д/7. Па втором этапе к уже деформированной упругой системе приложим силу Fk. Тогда сила Fh оставаясь неизменной, совершит возможную работу на перемещении Дд,, а сила Fk действительную работу на перемещении Д^.

Полную работу, совершенную приложенными силами в состоянии 1, запишем в виде

По аналогии, рассматривая загружение упругой системы в состоянии 2, получим

В двух рассмотренных состояниях одной и той же упругой системы конечный результат деформирования одинаков, следовательно, одинакова потенциальная энергия деформации. Так как потенциальная энергия есть работа внутренних сил (12.14), а последняя на основании принципа возможных перемещений (12.15) по абсолютной величине равна работе внешних сил, то Т{ = Т2.

Приравняв полученные выше выражения полных работ для двух рассмотренных состояний, после сокращения одинаковых величин в правой и левой частях равенства, получим

или в краткой форме

Таким образом, возможная работа сил состояния i на перемещениях, вызванных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на перемещениях, вызванных силами состояния i.

Этот вывод носит название теоремы о взаимности возможных работ

(теорема Бетти).

Любое действительное перемещение, как указывалось выше, можно представить в форме (12.1).

Тогда перемещения Д^ и Aki, входящие в выражение теоремы о взаимности возможных работ (12.16), могут быть представлены как

Подставив данные выражения в (12.16) и произведя сокращения в правой и левой частях равенства, получим

Равенство (12.18) является аналитическим выражением теоремы о взаимности возможных перемещений (теоремы Максвелла).

Возможное перемещение по направлению i от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению к, численно равно возможному перемещению по направлению к от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению /.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы