Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ
Посмотреть оригинал

Определение перемещений в статически определимых расчетных схемах

Перемещения от внешней нагрузки

Рассмотрим упругую плоскую расчетную схему (рис. 12.6, а), находящуюся иод действием произвольной внешней нагрузки. Иод действием этой нагрузки рассматриваемая расчетная схема будет деформироваться, и ее сечения получат перемещения. Предположим, что необходимо определить линейное перемещение сечения k по направлению К — К. Для этого рассмотрим вспомогательное состояние этой же расчетной схемы, приложив к ней в сечении k и по направлению искомого перемещения К — К единичную безразмерную силу.

Рис. 12.6

В обоих показанных состояниях расчетная схема находится в равновесии. Примем состояние k за действительное, а грузовое состояние F будем считать возможным, и определим работу сил k-ro состояния на перемещениях состояния F:

Возможная работа сил состояния F на возможных перемещениях состояния k с учетом принципа возможных перемещений (12.15) и выражения (12.13) будет равна

Приравнивая полученные выражения возможных работ на основании теоремы об их взаимности (12.17), получим формулу Максвелла — Мора для определения перемещений от внешней нагрузки:

Формула (12.22) записана в общем виде. Для практических расчетов ее обычно упрощают.

Для определения перемещений узлов ферм из (12.22) остается только первый член формулы. Если ферма изготовлена из стержней постоянного по длине сечения и действующая на ферму нагрузка приложена только в узлах, формула (12.12) принимает вид

где Сф — число стержней фермы.

В плоских балочных и рамных расчетных схемах пренебрегают продольными и поперечными деформациями из-за их малости по сравнению с деформациями изгиба. Если расчетная схема состоит из прямолинейных стержней постоянного по длине сечения, формула (12.22) принимает вид

где т — число участков интегрирования расчетной схемы.

В случае использования комбинированной расчетной схемы

В пространственных рамных и балочных расчетных схемах при пренебрежении продольными и поперечными силами формула (12.22), по аналогии, записывается в виде

где М2, М?/ — изгибающие моменты вокруг соответствующих осей сечений; МК = МХ крутящий момент в поперечном сечении стержня (см. рис. 4.6, в).

Формула (12.22) получена на примере определения линейного перемещения. Но она имеет общий характер. Для определения любых перемещений необходимо правильно выбрать вспомогательное состояние.

На рис. 12.7 представлены типы вспомогательных состояний при определении различных перемещений в плоской расчетной схеме:

  • • при определении линейных перемещений, вертикальных или горизонтальных (рис. 12.7, а и 6)
  • • при определении изменения расстояния между двумя сечениями (рис. 12.7, в);
  • • при определении угла поворота сечения (рис. 12.7, г)]
  • • при определении изменения угла между двумя сечениями (рис. 12.7, д и е).

Рис. 12.7

Направления единичных сил вспомогательных состояний выбирают произвольно. Это сказывается только на знаке определяемого по формуле Максвелла — Мора перемещения: если в результате расчета искомое перемещение получилось положительным, это означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы, использованной во вспомогательном состоянии.

Вычисление интегралов, входящих в формулу Максвелла — Мора, в общем случае производят следующим образом.

  • 1. Разбивают эпюры усилий вспомогательного и грузового состояний на участке интегрирования.
  • 2. В пределах каждого участка составляют выражения для усилий грузового и вспомогательного состояний.
  • 3. Подставляют полученные выражения усилий в интеграл Максвелла — Мора и производят интегрирование в пределах каждого участка, а полученные результаты суммируют.

В тех случаях, когда расчетная схема состоит из прямолинейных стержней с постоянной но длине жесткостью EI, последнюю в формуле (12.23) можно вынести за знак интеграла:

и вычисление интеграла можно выполнить, применив способ «перемножения» эпюр, обычно называемый способом Верещагина.

Для использования этого способа необходимо, чтобы одна из эпюр выражения (12.27) была прямолинейной. Это условие в данном случае выполняется всегда, так как эпюра Mk вспомогательного состояния состоит только из прямолинейных участков.

Рассмотрим сущность способа Верещагина. На рис. 12.8 показаны участки двух эпюр изгибающих моментов Mk и MF. Приняв за начало координат точку пересечения прямой, ограничивающей эпюру Mk, с осью абсцисс, выразим ординату этой эпюры через произвольную координату х:

Рис. 12.8

Тогда интеграл, входящий в (12.26), можно записать в виде

Из рис. 12.8, а видно, что MFdr — элементарная площадка d?i эпюры MFl а произведение xMFdx = xdQ — элементарный статический момент этой площадки относительно вертикальной оси.

Следовательно,

где S — статический момент площади П эпюры MF относительно вертикальной оси; х0 координата центра тяжести этой площади.

Тогда

Итак, если одна из перемножаемых эпюр ограничена прямой, а другая имеет произвольное очертание, то J MkMFdx молено вычислить как про-

I

изведение площади эпюры произвольного очертания С1 на ординату под ее центром тяжести г/0, взятую из прямолинейной эпюры.

Приведем основные особенности применения способа Верещагина (12.28). 1. Произведение Qy0 считается положительным, если площадь Q и ордината у0 расположены по одну сторону оси стержня, т.е. имеют одинаковые знаки, и отрицательным, если они расположены по разные стороны оси.

  • 2. Эпюра, по которой определяется площадь Д может быть любого очертания, но эпюра, по которой берется ордината г/0, может быть только прямолинейной.
  • 3. Если обе эпюры прямолинейные, то безразлично, по какой из них определяется площадь Д а по какой — ордината у0.

4. Когда одна из эпюр имеет сложное очертание, ее представляют как геометрическую сумму простых фигур, для которых известны их площади и координаты центра тяжести (табл. 12.1). Тогда формулу (12.27) для рассматриваемого участка стержня можно записать в виде

Таблица 12.1

Площади и центры тяжести простейших геометрических фигур

Недостатком способа Верещагина при всей наглядности и простоте является его трудоемкость при сложных очертаниях эпюр усилий, потому в инженерной практике часто используют готовые формулы «перемножения» эпюр, которые выведены на основе способа Верещагина.

Наиболее распространенными из таких формул являются следующие: 1) формула «перемножения» трапеций (рис. 12.9)

Рис. 12.9

Рис. 12.10

Формулы (12.29) и (12.30) справедливы при любых значениях ординат, показанных на рис. 12.9 и 12.10. Формула (12.30) применима в случае, если эпюра М[.- очерчена по квадратной параболе; при очертании по кубической параболе эта формула является приближенной.

Правило знаков для формул (12.29) и (12.30): произведение ординат, входящих в формулы, положительное, если ординаты в обеих эпюрах отложены по одну сторону от оси стержня, и отрицательное — если по разные стороны.

Для сравнения покажем на простом примере применение способа Верещагина и формулы Симпсона.

Пример 12.1

Требуется определить прогиб средней точки пролета простой балки с консолью (рис. 12.11, а), загруженной равномерно распределенной нагрузкой q = 8 кН/м в пролете и силой /•'= 16 кН на консоли.

Рис. 12.11

В силу простоты рассматриваемого примера опустим определение опорных реакций в балке при действии внешней нагрузки (грузовое состояние) и при действии единичной силы, приложенной но направлению искомого перемещения (вспомогательное состояние) Эпюры изгибающих моментов для этих состояний приведены на рис. 12.11, а, 6.

Решение. 1. Используем способ Верещагина, представив эпюру MF как сумму пяти простейших геометрических фигур (рис. 12.11, в), расположенных на двух участках, и против центров тяжести каждой из этих фигур подсчитав ординаты у0 на эпюре Мх.

Согласно табл. 12.1 эти площади и ординаты будут следующими:

2. Определим искомое перемещение по формуле Симпсона (12.30), для чего подсчитаем ординаты эпюр MF и М, (рис. 12.11, г) в середине каждого участка:

Искомое вертикальное перемещение точки 1 будет

Как видно из приведенного примера, объем вычислений при использовании формулы (12.30) значительно меньше, чем при использовании способа Верещагина.

Пример 12.2

Требуется для балки, приведенной на рис. 12.12, а, определить угол поворота сечения, примыкающего к опоре К, линейные перемещения узлов расчетной схемы и построить характер ее деформированной схемы.

Решение. Целью данного примера является изучение техники определения перемещений, поэтому при рассмотрении расчетных схем всех нижеприведенных состояний опущены части расчета, содержащие определение опорных реакций и построение эпюр усилий изгибающих моментов. На рис. 12.12 приведены расчетные схемы всех состояний, величины опорных реакций и необходимые эпюры изгибающих моментов.

Перемножение эпюр производится по участкам между узлами Л, В, С, D и К (см. рис. 12.12, а).

1. Определим угол поворота сечения, примыкающего к опоре К (рис. 12.12, б). В рассматриваемом вспомогательном состоянии для определения угла поворота в сечении К прикладываем единичный момент.

В соответствии с формулой (12.27)

Рис. 12.12

В приведенной записи:

  • • для участка Л В «перемножение» эпюр осуществлено но (12.29);
  • • для участка ВС — по (12.28);
  • • для участка CD — по (12.30);
  • • для участка DK — по (12.28);
  • • поскольку общий множитель для всего интеграла — 1 / EI, а на участках ЛВ и CD заданная жесткость равна 2EI, то записи перемножений эпюр по этим участкам разделены на число 2 (учет соотношения жесткостей).
  • 2. Определим горизонтальное перемещение узлов Ли В (рис. 12.12, в). В рассматриваемом вспомогательном состоянии для определения перемещения прикладываем горизонтальную единичную силу. Поскольку при изгибе мы пренебрегаем продольными деформациями и считаем, что вдоль оси стержня между его концами отсутствуют смещения, то безразлично, где прикладывать единичную силу — в узле Л или узле В .

В соответствии с формулой (12.27)

В приведенной записи:

  • • для участка Л В «перемножение» эпюр отсутствует, так как в эпюре М2 на этом участке нет изгибающих моментов;
  • • для участка ВС «перемножение» эпюр осуществлено но (12.28);
  • • для участка CD — но (12.30);
  • • для участка DK — по (12.29);
  • • для участков ЛВ и CD учтено соотношение жесткостей;
  • • искомое перемещение получили со знаком «минус»; это означает, что перемещение направлено в сторону, противоположную направлению приложенной единичной силы.
  • 3. Аналогичным образом определяем еще два перемещения, используя вспомогательные состояния 3 и 4 (рис. 12.12, г и Э).

4. На основании определенных перемещений узлов и эпюры изгибающих моментов грузового состояния MF (см. рис. 12.12, а) строим характер деформированной схемы (рис. 12.12, е).

Данная схема является условной, так как построить в одном масштабе саму расчетную схему и ее перемещения невозможно из-за малости последних по сравнению с размерами конструкции.

При построении деформированной схемы необходимо соблюдение ранее сформулированных допущений о «нерастяжимости и несжимаемости» изгибаемых стержней с добавлением еще одного — жесткие узлы расчетной схемы не деформируются. Таким образом, отложив в выбранном масштабе определенные нами перемещения узлов и представив изгиб стержней по эпюре изгибающих моментов MF, мы получим изображение условной деформированной схемы заданной конструкции.

Пример 12.3

Требуется определить прогиб консоли рамы (рис. 12.13, а). Стойка и ригель изготовлены из двутавра № 24 (12 = 3460 см4), подкос ЛВ — из трубы d = 102 мм и толщиной стенки t = 3 мм = 9,3 см2).

Рис. 12.13

Грузовое состояние рамы, соответствующая ему эпюра MF и значение продольной силы в подкосе NF показаны на рис. 12.13, а, а вспомогательное состояние, соответствующая ему эпюра и продольная сила N{ на рис. 12.13, б.

Решение. 1. Определим жесткости стержней рамы:

  • • на изгиб (стойка и ригель) EI = 2,06 • 108 • 3460 • 10-8 = 7127,6 кН м2;
  • • продольная жесткость (подкос АВ) ЕА = 2,06 • 108 • 9,3 • 10 4 = 19,16 • 104 кН.
  • 2. Определяем прогиб консоли по формуле (12.25).

или, подставив числовые значения жесткостей ЕА и ?/,

Пример 12.4

Требуется определить изменение угла между левой стойкой и центральным раскосом фермы, изображенной па рис. 12.14, а. Пояса фермы изготовлены из двух нерав- нополочиых уголков i_80 х 50 х 6 { = 2 • 7,55 =15,1 см2), а решетка — из двух равнополочных уголков I_50 х 5 2 = 2 • 4,8 = 9,6 см2).

Грузовое состояние фермы и соответствующая ему эпюра NF показаны на рис. 12.14, а, а вспомогательное состояние и соответствующая ему эпюра N, — на рис. 12.14, б.

Во вспомогательном состоянии для определения изменения угла между двумя сечениями приложены противоположно направленные единичные моменты. Так как в стержнях фермы при действии внешней нагрузки действуют только продольные силы, действия единичных моментов во вспомогательном состоянии заменяются действиями пар с плечами, равными длинам стержней, углы поворота которых подлежат определению. Силы пар приложены в узлах фермы по концам этих стержней.

Рис. 12.14

Решение. 1. Определим жесткости стержней фермы:

  • • пояса: ЕАХ = 2,06 • 10» • 15,1 • 10"4 = 31,106 • 104 кН = ЕА
  • • решетки: ЕАХ = 2,06 • 10» • 9,6 • 10~4 = 19,776 • 104 кН = 0,636?А 2. Определим перемещение по формуле (12.23):

или, подставив численное значение жесткости ЕА,

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы