Свободные колебания

Свободные незатухающие колебания. В большинстве инженерных расчетов силами неупругого сопротивления пренебрегают. Тогда в выражении (15.11) величина 2k = 0, и само дифференциальное уравнение движения принимает вид

Решение однородного дифференциального уравнения (15.12) известно из курса высшей математики и имеет вид

Скорость колебаний массы т определяется первой производной по времени от полученного уравнения движения (15.13):

Произвольные постоянные А и В определим из начальных условий, в качестве которых примем: при t = 0y(t) = y0 =0 и у(?) = Оо(где °о начальная скорость колебаний). Подставив принятые начальные условия в формулы (15.13) и (15.14), получим А = 0, В = о0 / со, а уравнение движения (15.13) примет вид

Рис. 15.4

Из формулы (15.15) следует, что при отсутствии диссипативных сил масса т будет совершать простые гармонические незатухающие колебания. График этой функции показан на рис. 15.4. Из графика видно, что наибольшие отклонения массы от первоначального положения равны постоянной величине а = о0 / со, называемой амплитудой колебаний. Удвоенная амплитуда называется размахом колебаний.

Время Т в секундах, за которое масса совершает полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Из графика видно, что

Число полных колебаний в единицу времени называется частотой колебаний. Из формулы (15.16) получаем со = 2п / Т (рад/сек) — число колебаний за время 2к секунд. Эта величина называется круговой частотой колебаний.

Круговая частота на основании обозначения (15.10) с учетом (15.7) может быть определена по формуле

Число колебаний в секунду измеряется в герцах (Гц) и может быть выражено через круговую частоту или период колебаний:

В инженерной практике нередко используется техническая частота колебаний — число колебаний в минуту. Она также может быть выражена через круговую частоту или период колебаний:

Выражения (15.16)—(15.19) определяют параметры колебаний, основными из которых являются круговая частота и период колебаний.

Свободные затухающие колебания. График, приведенный на рис. 15.4, показывает, что невесомый стержень с одной точечной массой, начав колебаться, будет продолжать эти колебания неограниченное время без воздействия каких-либо сил. В действительности этого не происходит. Любая упругая система, выведенная из начального состояния равновесия, поколебавшись, останавливается. Причиной этого является действие сил сопротивления S.

Рис. 15.5

Если при рассмотрении свободных колебаний принять те же начальные условия, т.е. при t = 0 y(t) = у0 = 0 и y(t) = v0, то дифференциальное уравнение движения (15.11) точечной массы, учитывающее влияние сил сопротивления, будет иметь следующее решение:

График функции (15.20) показан на рис. 15.5, на котором начальная амплитуда колебаний a0 = v0/(Oj, а круговая частота при учете затухания

Согласно формуле (15.20) теоретически полное затухание наступит при t —> оо, что противоречит действительности. Это противоречие свидетельствует об одном из недостатков принятой гипотезы вязкого трения.

С целью оценки скорости затухания колебаний рассматриваются две соседние амплитуды по графику (15.5) и вычисляется их отношение:

В качестве меры затухания колебаний берется не само отношение соседних амплитуд, а его натуральный логарифм, т.е.

Эта величина, характеризующая скорость затухания, называется логарифмическим декрементом затухания, а величина k = 0,5р / т — коэффициентом затухания. Величина декремента является постоянной, не зависящей от времени. Она учитывает характеристики конструкции и окружающей среды. Так как этих характеристик достаточно много, то коэффициент затухания k определяется экспериментально, путем замеров амплитуд колебаний специальными приборами.

В справочной литературе для оценки затухания приводятся значения коэффициентов поглощения |/ = 2kT. Значения этих коэффициентов для разных материалов и различных амплитуд инерционных сил приведены в табл. 15.1.

Таблица 15.1

Значения коэффициентов поглощения у

Амплитуда инерционной силы, кН

Железобетон

Кирпичная

кладка

Дерево

Сталь

прокатная

< 1

0,314

0,251

0,188

0,063

> 1

0,628

0,503

0,314

0,157

Значения коэффициента затухания k для большинства строительных конструкций, колебания которых происходят в окружении воздушной среды, не очень велики, поэтому чаще всего (особенно в инженерных расчетах) частоты свободных колебаний определяются без учета диссипативных сил, т.е. 0)1 ® со.

На основании формулы (15.16) период затухающих колебаний Т = 2п/ «!, поэтому логарифмический декремент затуханий

откуда, пренебрегая у2 как величиной второго порядка малости, получим

Пример 15.1

Требуется определить круговую и техническую частоты, а также период колебаний системы с одной степенью свободы, показанной на рис. 15.6, а. Жесткость стержней HI = 5400 кН м2; тп = 0,25 т.

Решение. 1. Масса гп может совершать только вертикальные колебания. Вспомогательное состояние расчетной схемы для определения податливости по направлению колебания массы показано на рис. 15.6, б, соответствующая ему эпюра изгибающих моментов А/, — на рис. 15.6, в.

Рис. 15.6

2. Податливость

3. Круговая частота свободных колебаний по формуле (15.17):

  • 4. Период колебаний Т=2п / со = 2к / 20 = 0,314 с.
  • 5. Техническая частота п = 60 / Т = 60 / 0,031= 190,99 кол/мин.

Пример 15.2

Требуется определить круговую частоту и период свободных колебаний сосредоточенного груза массой тп = 3 т, расположенного на конце консоли статически неопределимой рамы (рис. 15.7, а). Жесткость стержней рамы постоянна и равна EI = = 12 600 кН м2.

Рис. 15.7

Решение. 1. Степень свободы сосредоточенной массы Wm = 1, так как при принятых допущениях она может совершать колебания только по вертикали.

  • 2. Вспомогательное состояние для определения податливости рамы но направлению колебания массы показано на рис. 15.7, б.
  • 3. Выбираем метод решения для определения усилий в представленном вспомогательном состоянии.

Степень статической неопределимости рамы пс = ЗК - Ш = 3 • 1 -1=2.

Степень кинематической неопределимости пк = пу- пл = 1-0=1.

Так как пк < ис, расчет производим методом перемещений.

4. Каноническое уравнение метода перемещений ruZt + rF = 0. Основная система метода и вспомогательное грузовое состояние от единичной безразмерной силы показаны на рис. 15.7, в, г.

Относительные жесткости стержней рамы:

  • — ригеля: = EI / 4 = /;
  • — стойки: i2 = EI / 3 = Ai / 3.
  • 5. Деформированная схема основной системы от принудительного поворота дополнительной связи на единичный угол и соответствующая ей эпюра изгибающих моментов Л/,° показаны на рис. 15.7, д.
  • 6. Реакции в дополнительной связи определяем но эпюрам Mf и М^{. ги = = 8i кН м/рад и r1F = 2 м.

Из решения канонического уравнения Z{ = -r1F/rtl = -0,25 / i рад.

  • 7. Эпюра изгибающих моментов вспомогательного состояния (см. рис. 15.7, в) Л/, = M1°Z1 + показана на рис. 15.7, е.
  • 8. Для определения податливости по направлению колебания массы на основании положений п. 14.6 выберем статически определимую основную систему и в ней построим вспомогательную эпюру изгибающих моментов М] (рис. 15.7, ж) от действия единичной силы, приложенной по направлению колебания массы.

Тогда

10. Период колебаний Т= 2к / со = 2л / 30 = 0,209 с.

Пример 15.3

Требуется определить круговую частоту свободных колебаний массы m, расположенной в крайнем правом узле консольной статически неопределимой фермы (рис. 15.8, а). Продольная жесткость стержней фермы ЕЛ постоянна.

Рис. 15.8

Решение. 1. Степень свободы массы m Wm = 1, так как узел, в котором она расположена, закреплен горизонтальной линейной связью. Поэтому масса m может совершать только вертикальные колебания.

  • 2. Вспомогательное состояние фермы при действии единичной силы, приложенной но направлению колебания массы, показано на рис. 15.8, б.
  • 3. Степень статической неопределимости фермы пс = С - 2У = (6 + 5) - 2 • 5 = 1.
  • 4. Каноническое уравнение метода сил имеет вид &ххХх +5,^ = 0 (здесь коэффициент при неизвестном и свободный член канонического уравнения отмечены сверху чертой, чтобы отличить их от значений податливостей, используемых при динамических расчетах).
  • 5. Основная система, принятая для расчета, показана на рис. 15.8, в.
  • 6. Расчетные эпюры iVj* и N^ вспомогательного и грузового состояний основной системы метода сил показаны на рис. 15.9, а, 6 соответственно.
  • 7. Коэффициент при неизвестном и свободный член канонического уравнения вычисляем по формуле Максвелла — Мора:

Рис. 15.9

  • 8. Решим каноническое уравнение Хх =-5l/r/5l t =-(-24,067)/19,44 = 1,238 и построим эпюру продольных сил Nx = N1°X1 +N%X (рис. 15.9, г).
  • 9. Определим податливость по направлению колебания массы, используя упрощения при определении перемещений в статически неопределимых системах (см. параграф 14.5):
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >