Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

Действие вибрационной нагрузки на систему с несколькими степенями свободы рассмотрим, как и в подпараграфе 15.2.2, на примере установившихся колебаний, т.е. изучим стационарный процесс, который наступает после затухания свободных колебаний.

Действующая динамическая нагрузка изменяется по гармоническому закону: F(t) = FsinG^; q(t) = <7sin0?; M(t) = MsinQt, и может быть приложена в любом месте расчетной схемы.

Усилия и перемещения, полученные в результате динамического расчета, также будут изменяться по этому закону, т.е.

где S и А — амплитудные значения усилий и перемещений.

Следовательно, задачей динамического расчета является нахождение амплитудных значений усилий и перемещений. При необходимости определения усилий и перемещений в любой момент времени используется зависимость (15.43).

Рис. 15.22

Ш Ш JM) ш и о

Рассмотрим невесомую балку с п степенями свободы (рис. 15.22) и составим для нее выражение перемещений типа (15.35). Но в данном случае к правой части этих выражений добавятся еще перемещения, вызванные заданной динамической нагрузкой.

На основании принципа независимости действия сил, перемещение любой массы тк можно представить как сумму перемещений

Выражения (15.44) составляют для каждой массы расчетной схемы при k = ,2,..., п.

Входящие в выражение (15.44) инерционные силы определяются выражениями (15.36), а перемещения при установившихся колебаниях — выражениями

где ак, cij — амплитуды колебаний k-й иу'-й масс.

Дважды продифференцируем по времени выражения (15.45) и, подставив его в выражение для инерционных сил (15.36), получим

В выражении (15.46) обозначение L = a-mfi2 называют амплитудным значением инерционной силы. Зная это значение, можно определить амплитуду колебаний массы при вынужденных колебаниях:

С учетом (15.47), выразим перемещения масс k (k = 1,..., п) через инерционные силы:

Подставим выражения перемещений масс y(t) из (15.48) в левую часть уравнения (15.44), а выражения инерционных сил (15.46) — в правую:

Полученное выражение сократим на sin0? и приведем к каноническому виду, перенеся все члены в одну сторону:

и, введя обозначение

получим

Выражение (15.50) при & = 1, 2, п является системой алгебраических уравнений относительно амплитуд инерционных сил Jk.

Так как, в отличие от задач статики, при динамическом воздействии все перемещения и усилия в расчетной схеме зависят не только от внешней нагрузки, но и от сил инерции, то, определив амплитудные значения этих сил, на основании принципа независимости действия сил можем определить амплитудные значения искомых усилий:

где Sty (j = 1, 2, п) — усилия в заданной расчетной схеме от единичных сил, приложенных по направлению действия сил инерции; ДkF усилия от амплитудного действия внешней динамической нагрузки.

Методика определения динамических усилий и перемещений через амплитудное значение инерционной силы применяется и для систем с одной степенью свободы, когда направления возмущающих нагрузок не совпадают с направлением сосредоточенной массы, и динамический коэффициент определить нельзя.

Пример 15.10

Требуется построить динамическую эпюру изгибающих моментов для консольной балки с двумя сосредоточенными массами, показанной на рис. 15.23, а, при действии возмущающей силы F(t) = 12Osin0? кН. Круговая частота возмущающей силы 0 = 0,7comin (расчет на свободные колебания см. в примере 15.8).

Решение. 1. При sin0? = 1 на расчетную схему будут действовать амплитудные значения возмущающей силы F и инерционных сил J{ и J2 (рис. 15.23, 6).

2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчетной схемы с двумя степенями свободы имеет вид

Рис. 15.23

3. Из примера 15.8 минимальная частота свободных колебаний Тогда 0 = 0,70)! =0,1009у]Е1 / т с-1.

4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 15.8:

Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений определяем но формуле (15.49):

5. Так как направление возмущающей силы F(t) совпадает с направлением J2 (см. рис. 15.23, б), эпюра изгибающих моментов MF= М2Т(рис. 15.23, в) и, соответственно, свободные члены канонических уравнений будут:

  • 6. Подставив все найденные значения в систему канонических уравнений и сократив на общий множитель 1 / ?/, получим систему уравнений в численном виде:
    • -62,224/ + 13,5/;+ 1620 = 0,
  • 13,5/- 40,112/2 +1080 = 0,

решив которую, найдем/ = 34,387 кН,/2 = 38,498 кН.

7. Динамическая эпюра, построенная на основании принципа независимости действия сил МД1Ш = М,/, + Л/2/2 + MF, показана на рис. 15.23, г — е.

Пример 15.11

Требуется построить динамическую эпюру изгибающих моментов для статически неопределимой рамы с двумя сосредоточенными массами, показанной на рис. 15.24, а> при действии возмущающих нагрузок F(t) = 6sin0? кН и q(t) = 24sin0? кН/м. Круговая частота возмущающей силы 0 = 0,75a>min (расчет на свободные колебания см. в примере 15.9).

Рис. 15.24

Решение. 1. При sin0f = 1 на расчетную схему будут действовать амплитудные значения возмущающих нагрузок F, q и инерционных сил J{ и J2 (рис. 15.24, 6).

2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчетной схемы с двумя степенями свободы имеет вид

3. Из примера 15.9 минимальная частота свободных колебаний Тогда 0 = 0,7(0! =0,2935^?7/ т с-1.

4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 15.9:

т

Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений определим по формуле (15.49):

5. Произведем расчет грузового состояния от амплитуд возмущающих нагрузок (рис. 15.24, в). Основная система метода перемещений и эпюра Mj° от принудительного единичного поворота дополнительной связи показаны на рис. 15.20, в (см. пример 15.9). Эпюра грузового состояния в основной системе Мр приведена на рис. 15.24, в.

Каноническое уравнение метода перемещений

rnZ{ + RlF= 0, где ги = 14,5/ кН-м/рад, RXF = 42 кН м.

Тогда Zj= -RlF / rn = -42/14,5/ рад.

Эпюру грузового состояния получим на основании принципа независимости действия сил МF = M^Z, + (рис. 15.24, с)).

6. Свободные члены канонических уравнений определим, используя вспомогательные состояния в статически определимых основных системах (см. рис. 15.21, в, г):

  • 7. Подставив все найденные значения в систему канонических уравнений и сократив на общий множитель 1 / EI, получим систему уравнений в численном виде:
    • -5,499/{ - 0,466/2 + 49,38 = 0,
    • -ОДббД - 15,998/2 - 19,551 = 0, решив которую, получим Jx = 9,109 к11,у2 = -1,526 кН.
  • 8. Динамическую эпюру построим на основании принципа независимости действия сил МД1Ш = М,У, + М2у2 + MF (рис. 15.24, е — ж).

Пример 15.12

Требуется построить динамическую эпюру изгибающих моментов для расчетной схемы с одной степенью свободы, показанной на рис. 15.25, а, если возмущающая сила F(t) = 6sin0f кН приложена вне направления колебания массы, а частота вынужденных колебаний 0 = 0,8со.

Решение. 1. При sin0?= 1 на расчетную схему будут действовать амплитудные значения возмущающей силы F и инерционной силы J{ (рис. 15.25, 6).

2. Каноническое уравнение для определения амплитудного значения инерционной силы для расчетной схемы с одной степенью свободы будет иметь вид

  • 3. Заданная система статически определима. Построим эпюру Мх от единичной силы, приложенной по направлению колебания массы (рис. 15.25, в), и эпюру MF от действия амплитуды возмущающей нагрузки (рис. 15.25, г).
  • 4. Значения податливости по направлению колебания массы:

5. Определим частоту свободных колебаний:

Рис. 15.25

тогда частота вынужденных колебаний 0 = О,8со = 0,11926./— с-1.

V т

6. Коэффициент при неизвестном канонического уравнения определим по формуле (15.49):

8. Свободный член канонического уравнения

  • 9. Подставив найденные значения в каноническое уравнение и сократив на общий множитель 1 / Е1У получим уравнение в численном виде
  • -25,312/, + 405 = 0, решив которое, получим/, = 16 кН.
  • 7. Динамическую эпюру строим на основании принципа независимости действия сил Мдин = MJX + MF (рис. 15.25, д).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >