КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Рассмотрим взаимно однозначное дифференцируемое отображение двух областей трехмерных пространств

Отображение ср определяется заданием функций

и будет взаимно однозначным, если якобиан

в области V. Область V вместе со своим дифференцируемым вза-. имно однозначным отображением на область U называется локальной картой, а набор (qu q2, q2) — криволинейными координатами в ?3.

Движение точки в евклидовом пространстве Е1 можно задать с помощью отображений

Тогда скорость точки

Построим в каждой точке области U базис (§,, ?2> ?з)> гДе

и представим скорость точки в виде разложения по этому базису криволинейной системы координат в виде

Величины Н, называются коэффициентами Ламе. Единичные векторы направлены по касательным к координатным кривым, проходящим через рассматриваемую точку. Координатные кривые определяются равенствами г = г(qu q7, q3), когда изменяется одна из трех величин, а две другие постоянны. Формула (2.5) есть разложение скорости по базису криволинейной системы координат.

Если = 0 для любого »*j в каждой точке области U, то криволинейная система координат называется ортогональной.

Для отыскания ортогональных проекций вектора ускорения на базисные векторы криволинейной системы координат рассмотрим функцию

являющуюся квадратичной формой переменных (qt, q2, g3). Имеем

Величины w, суть ортогональные проекции вектора ускорения на орты криволинейной системы координат. Если криволинейная система координат ортогональна, то справедливо представление

П.1. Цилиндрические координаты (р, <р, г) определяют положение точки в пространстве Е3 с помощью формул х, = р cos <р, хг = р sin ф, х3 = г, 0 < р < да, ф mod 2л. Далее,

Тогда v= р$р+рф$ф + г$г. Поскольку Т' = /2у2 = 1/2(р2 + р2ф2 + г2), то проекции ускорения на оси цилиндрической системы координат равны

и отличен от нуля всюду, кроме точек на оси Ох}.

П.2. В сферических координатах (г, <р, 0) задают положение точки с помощью соотношений

Тогда

Hri,r = (sinOcoscp, sin0sin ф, cos0), Hr = 1,

ф = (-r sin 0 sirup, rsin0cosv, 0), Яф =rsin0,

//e^e = (r cos 0 cos ф, г cos 0 sin ф, -rsin0), He=r.

Скорость точки представляется в виде v = rr + г sin 0ф^ф + r0?e, и поскольку скалярные произведения = 0, то

Проекции ускорения на оси сферической системы координат равны

Якобиан перехода от декартовой системы координат к сферической равен -г2 sin 0 и обращается в нуль на оси Ох3.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >