СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ЛЕММА О ПРОИЗВОДНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ

Иногда целесообразно рассматривать движение точки относительно подвижной системы координат. В этом случае говорят о сложном движении материальной точки, имея в виду, что движение точки относительно неподвижной системы координат S задается посредством движения подвижного репера 5, и движения точки относительно подвижного репера 5,. Говорят, что система координат СХ|Х2х3 (репер 5,) движется относительно неподвижной системы координат 01,|^24з, если точка С перемещается в системе координат S и изменяется ориентация осей подвижного репера 5, относительно неподвижного репера S. В соответствии с рис. 1

Здесь Г = I у у || — оператор перехода от системы координат Сх,х2х3 к системе 0^2^3. Оператор Г принадлежит группе вращений трехмерного пространства 50(3) и зависит от времени. Большими буквами обозначены векторы в неподвижной системе координат О;,^з> а маленькими — в подвижной системе Сх1х2х3. Абсолютная скорость точки М (скорость относительно неподвижной системы S)

получена путем дифференцирования равенства (3.1).

Л. Оператор А = Г"1 Г кососимметричен (А =-А') и эквивалентен операции векторного умножения, а именно, Лгэюхг, Vre ?[1].

? Заметим, что операция транспонирования ортогонального оператора приводит к обратному оператору Г' = Г*. Продифференцируем равенство Г^Г = Е и получим (Г-1 )Т + Г_|Г = 0. Далее, (Г"1 )Т = (Г')Т = (Г)Т = (ГТ)' = А' и предыдущее равенство можно переписать в виде А' + А = 0, что и доказывает кососимметричность оператора А. Т

Оператор А в системе координат 5, зададим матрицей

Рис.2

Рис.1 Рис.2

Обозначим V, = Vc+ Г[а>, г], Уг=Гг. Величины V,, Уг называются соответственно переносной и относительной скоростью точки М. Справедлива теорема сложения скоростей: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей

Равенство (3.3) записано в системе координат Его можно

переписать в подвижной системе Сх,х2х3, если умножить на оператор перехода Г-1 в виде

Относительная скорость г есть скорость движения точки относительно подвижной системы координат 5,, а переносная скорость е равна абсолютной скорости точки Л/,, принадлежащей реперу Sx и совпадающей в данный момент времени с точкой Л/.

EL Пусть две палочки Охх и Оху2 движутся в плоскости 0?,?2, имея точки О и Ох неподвижными. В точке пересечения палочек находится кольцо М (рис. 2). Требуется найти абсолютную скорость кольца Л/, если известны законы изменения углов <р, и <р2, которые образуют палочки с неподвижной осью 0?,.

Введем два подвижных репера Sx, S2 и согласно теореме сложения скоростей запишем

vfl = v(1+vrl=vt2+v,2.

Здесь индекс 1 относится к системе координат Оххх2х:3 (репер 5,), а индекс 2 — к системе координат Охуху-уу3 (репер S2). Поскольку начала реперов Sx и S2 неподвижны, то

Вектор г, = ОЛ/, г2 = О, Л/ . Несложные вычисления приводят к равенствам

где е3 — орт оси 0?3. Следует только помнить, что при дифференцировании оператора, представленного в матричном виде, вычисляются производные всех элементов соответствующей матрицы. Полученные выражения для переносных скоростей позволяют их найти как по величине, так и по направлению (см. рис. 2). Очевидно, что относительные скорости Vr, =Г,г,, Уг22г2 направлены по палочкам Ох, и Oty2 соответственно. Это обстоятельство позволяет в свою очередь построить геометрический вектор абсолютной скорости кольца М (прямые а, и а2 параллельны осям Ох, и 0ху2). Стороны параллелограмма MKtNK2, диагональ которого MNесть абсолютная скорость кольца М, равны | | = | Vfl | sin''a,

| МК21 = |Ve21 sirT*a, гдеа = л/2 + ф2-ф|,|У,|| = |0Л/|ф1,|У,2| = |0|Л/|ф2. Тогда по теореме косинусов из треугольника Л/yVATj получим

  • [1] и определим вектор со = ?ш*е* , где е* — орт по оси Схк. Тогда *-i непосредственно проверяется равенство Ат * <о х г для любого г е Е .Вектор а> — собственный вектор оператора А с нулевым собственным значением — называется угловой скоростью вращения системыкоординат 5, относительно S. Формула (3.2) представляется в виде
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >