РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕДА. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА: ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ, ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Согласно определению 0.2 твердым телом называется система материальных точек, расстояния между которыми не изменяются в процессе движения. Отсюда следует, что с твердым телом можно связать систему координат Сх(х2х3, относительно которой все точки твердого тела будут неподвижны. Радиус-вектор произвольной точки М твердого тела

где Г — оператор перехода от системы координат CX|XjX3 к неподвижной системе координат 0^25э, а г = СМ = ?х,е, в системе

J-I

координат CxjXjXj. Проекции вектора г на оси Сх,, Сх2, Сх3 равны X,, х2, х3 соответственно и постоянны. После дифференцирования равенства (4.1) с учетом леммы о производной ортогонального оператора получим

Вектор со в системе координат Сх!х2х3 и ему соответствующий вектор П = Го в системе О; i^3 называется угловой скоростью твердого тела. Векторное равенство (4.2) в неподвижной и подвижной системах координат имеет вид

Соотношение (4.3) называется формулой Эйлера и задает распределение скоростей точек твердого тела. Точка С — начало подвижной системы координат — называется полюсом.

Рис.4

Рис.З Рис.4

Отметим свойство ортогональных операторов: Г[а, Ь] = [Га, ГЪ| для любых а, b € ?3.

Л. Угловая скорость твердого тела не зависит от выбора начала подвижной системы координат и ее ориентации.

А Пусть С1у1у7у3 ~ еще одна система координат, жестко связанная с телом, и

где Г, — оператор перехода от системы координат C]y]y7yi к системе Сх]х2ху Вектор г, задан в системе координат С,у,у2У3» оператор Г, не зависит от времени. Тогда м = УС) + Г(Г"|Г)Г,г, = УС( + Г[а>, Г,г,), где VC) = Rc + СС, — скорость нового полюса. Далее, VW = VC) + + QxR = VCi + ГГ,[о>|, r,|, R = ГГ,г,, П = Гео, со, = Г,",со. Отсюда следует, что угловая скорость твердого тела не зависит от выбора подвижной системы координат и является в этом смысле инвариантной характеристикой движения твердого тела. ?

0.4.1. Говорят, что твердое тело движется поступательно, если на всем интервале времени его угловая скорость равна нулю.

В этом случае оператор Г постоянен и ориентация подвижного репера Сх,*^ относительно неподвижного з не меняется.

Все точки твердого тела имеют одну и ту же скорость: м = с для любой точки М твердого тела.

0.4.2. Говорят, что твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, если в процессе движения две точки твердого тела О и С неподвижны.

Выберем подвижную и неподвижную системы координат так, чтобы точки О и С лежали на осях 0?3 и Оху Оси 0^3 и Охг совпадают, а угол между осями 0^х и Ох, равен <р(/). Собственно движение и состоит в изменении угла ср. Тогда

Угловая скорость со направлена по оси Охъ и равна ф. Каждая точка твердого тела описывает окружность с центром на оси Оху а ее скорость в системе Оххх^с3 равна ум= ф [е3, г) = ф (—jc2ef + xfo), где хь х2> хз — координаты точки М eh е2, е3 — орты осей Охь Ox2t Оху

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >