ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА: ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

0.7.1. Движение твердого тела называется плоскопараллельным, если скорости всех его точек параллельны неподвижной плоскости во все время движения.

Пусть эта плоскость есть Рассмотрим произвольную точку Мтвердого тела. Тогда УдД3 = 0 (?3 — единичный вектор по оси

3) или КЛ/^3 = 0 . Интегрируя последнее соотношение, найдем Ra/О^з = КдДО^з, т.е. траектория точки М находится в плоскости, параллельной плоскости 0%,^2. Если Л/, и Л/2 — две точки твердого тела, то Л/,Л/2 ^3 = | A/|A/2lcoscx, а = Z(A/,A/2, ^3). Отсюда следует, что угол а в процессе движения не меняется, так как расстояние между двумя точками твердого тела |Л/1Л/2| и скалярное произведение А/|Л/2?з= (R,(/)-R2(/))^3 = (R,(0)-R2(0))^3 постоянны. Если угол а = 0 (точки Л/,, М2 лежат на перпендикуляре к плоскости 0?|?2)> то они имеют одинаковые скорости и описывают конгруэнтные кривые в параллельных плоскостях, поскольку R2(r) = R,(/)+ Af|A/2 и вектор Л/,Л/2 постоянен. Следовательно, для полного изучения плоскопараллельного движения твердого тела достаточно изучить движение его точек в каком-либо сечении тела плоскостью, параллельной плоскости 0^2.

В дальнейшем будем изучать движение фигуры, полученной сечением твердого тела плоскостью 0?,?2. Пусть система координат Схух2хз жестко связана с телом (рис. 4). Тогда

Скорость точки М равна QxRb системе координат 0?,?2?3

или vA/ = vc + <зо х г в системе СХ|Х2х3, где П = Гсо, со х ггГТг. Угловая скорость со = фе3 , поскольку

Здесь е3 — орт по оси 0^3 или Ох3, которые перпендикулярны плоскости рисунка.

В случае плоскопараллельного движения второй инвариант Vcft = 0 и возможно только три первых типа движений (см. таблицу): мгновенный покой (Vc = Q = 0), мгновенно-поступательное движение (Vc*0,Q = 0) и мгновенно-вращательное движение (Q * 0). В последнем случае ось мгновенного вращения всегда ортогональна плоскости 0^,?2, аксоиды — цилиндрические поверхности с образующей ортогональной плоскостью 0?,?2. Пересечения аксоидов с плоскостью j?2, называются подвижной и неподвижной центроидами, а их точка касания — центром мгновенного вращения. Движение фигуры, полученной сечением твердого тела плоскостью 0?|?2> представляется в виде качения без проскальзывания подвижной центроиды, жестко связанной с телом, по неподвижной центроиде. Радиус-вектор центра мгновенного вращения точки Р в подвижной и неподвижной системах координат определяется выражениями (6.1), (6.2) при Х = 0

Сформулируем правило геометрического построения центра мгновенного вращения, если известны скорости двух точек твердого тела, лежащих в плоскости Сх,х2: центр мгновенного вращения лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек (рис. 5).

П. Пусть палочка ЛВ движется так, что ее концы скользят по осям G?|, 0^2 соответственно. С палочкой АВ жестко связано твердое тело, совершающее плоскопараллельное движение (система координат Сх,х2). Положение палочки задается углом А и В направлены по осям 0?,, 0$2, центр мгновенного вращения Р является вершиной прямоугольника АОВР и описывает дугу окружности LPNс центром в точке О, так как ОР = АВ. Дуга LPN или ее часть являются неподвижной центроидой. Заметим, что отрезок СР = /2АВ и точка дописывает в системе координат Сх,х2 дугу окружности АРВ, которая является подвижной центроидой. Движение отрезка АВ представляется как качение без проскальзывания подвижной центроиды АРВ по неподвижной LPN. Если задан закон изменения угла М Уд1 = фе3 х РМ .

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 8

Рис. 7 Рис. 8

0.7.2. Движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной точки, если во все время движения одна точка твердого тела остается неподвижной.

Пусть начала неподвижной и подвижной систем координат совпадают. Полагая подвижную систему координат жестко связанной с телом, найдем

Здесь Г е 50(3) — оператор перехода от подвижной системы Оххх2X3 к неподвижной 0^,^з. П = Га> — угловая скорость тела. Уравнения подвижного и неподвижного аксоидов

определяют конические поверхности с вершиной в точке О (рис. 8).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >