СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ПАРА ВРАЩЕНИЙ

Рассмотрим две системы координат — неподвижную и

подвижную Суху^уз (рис. 9). Твердое тело, с которым связана система координат PxiXjXj, движется относительно подвижной системы координат СухУ2Уу Требуется описать распределение скоростей точек твердого тела в абсолютном движении, т е. в движении относительно неподвижной системы координат 0?,?24з-

Рис.10

Рис. 9 Рис.10

Радиус-вектор точки М

где ортогональные операторы Г(, Г2 задают преобразования от системы координат Су,У2)>3 к 0^2^3 и Pxtx2x} к Су1у2у2 соответственно Векторы Rw, Rc заданы в системе вектор г^,) — в

системе Су1у2у2, а вектор гм(2) — в системе Pxix2xy Продифференцируем равенство (8.1) и получим

Здесь<0|(,) х г*1* = Г,'1 Г/4, ю2<2) х г*2) = ly'I^r®, а>|(|),в>2<2) — переносная и относительная угловые скорости. Далее Г|vP^ = = Г,г/|> = Vрг — относительная скорость точки Р в системе Су1у2у2, Vc+ г,!©,01, г/11] = УРе — переносная скорость точки Р Оставшиеся слагаемые в формуле (8.2) представляются в виде

Угловая скорость О, =0, — переносная угловая скорость, П2 = П, — относительная угловая скорость твердого тела. Формула (8 2) с учетом (8.3) представляется в виде

С другой стороны, по формуле Эйлера в абсолютном движении м = ра х РМ , где П„ — абсолютная угловая скорость твердого тела в системе координат 0^2?з- Сравнение этих двух выражений приводит к равенствам

зз

Полученный результат сформулируем в виде теоремы: если твердое тело движется в системе координат, которая в свою очередь перемещается относительно неподвижной системы координат, то абсолютная скорость полюса (точка Р твердого тела) находится как сумма переносной и относительной скоростей, а абсолютная угловая скорость — как сумма переносной и относительной угловых скоростей.

0.8.1. Сложное движение твердого тела называется парой вращений, если Ус= 0, V/v= 0, С1е = -Пг.

В этом случае согласно (8.4) У М - У Ре = П, хСЯ, т.е. все точки твердого тела имеют одинаковую скорость и, значит, тело совершаетмгновенно-поступательное движение. Величина скорости РехСР называется моментом пары вращений. Если условия в определении (8.1) выполняются во все время движения, то тело совершает поступательное движение. Очевидно и обратное утверждение: всякое поступательное движение твердого тела можно представить как сложное движение с помощью подходящей пары вращений.

Из теоремы о сложении движений вытекает следствие: всякое движение твердого тела складывается из поступательного переносного движения и относительного движения — вращения тела вокруг начала подвижной системы координат. В самом деле, пусть начало подвижной системы координат точка С совпадает с точкой Р твердого тела, а оси Су,, Су2, Су3 параллельны во все время движения соответствующим осям неподвижной системы координат 04,^з- Тогда Pr = Oi Q* = Q, =0. Переносная скорость точки М V, = Ур, а относительная Vr = Qrx РМ у т.е. соотношение м = р +Clx РМ (формула Эйлера) выражает теорему сложения движений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >