РАБОТА СИЛЫ. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Пусть г = г(/) — закон движения материальной точки, F — сила, действующая на точку, a dr = rdt — действительное перемещение.

0.4.1. Элементарной работой силы на действительном переме-

з

щении называется дифференциальная форма dA = Fdr = .

1*1

Если материальная точка в процессе движения по траектории переместилась из положения Р0 в положение Р, то работа силы на этом перемещении представляется криволинейным интегралом (рис. 15)

  • 0.4.2. Если в каждой точке области D трехмерного евклидова пространства задан вектор силы F(r, t), то говорят, что в области D задано силовое поле.
  • 0.4.3. Силовое поле называется потенциальным, если существует

я я

силовая функция V(г, t) и F = VrC/(г, /), где Vr = -г—е, + ——е2 +

OX I OXj

я

дх

3 — оператор градиента по пространственным координатам.

з

0.4.4. Стационарное потенциальное силовое поле называется консервативным. В этом случае силовая функция не зависит от времени.

Важным свойством силовых полей является независимость работы от пути, соединяющего две фиксированные точки области D. Сформулируем известную теорему анализа о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования: если силовое поле, заданное в односвязной области Д является стационарным

rsTf

(~- = 0) и безвихревым (rot F = 0), то оно консервативно, и работа ot ^

силы при перемещении из точки г0 в точку Р зависит только от

этих точек и не зависит от пути, их соединяющего. Из условия

дХ дХ

rot F = 0 следуют условия Коши —— = -г—L , к, / = 1, 2, 3, полного

OXt иХк

дифференциала выражения Fdr. Здесь функции Хь Х2, Хъ> зависящие от х,, х2, х3, — компоненты вектора F. При вычислении работы получим

П. Рассмотрим силовые поля на плоскости Оху, порождаемые силовыми функциями Ux = ф и U2 = -г~ где (г, <р) — полярные координаты. Силовые поля Fk = VrUk(r), г = (х, у), к=, 2, определены на всей плоскости Оху, за исключением начала координат, и консервативны. Если из плоскости Оху исключить луч, соединяющий начало координат с бесконечно удаленной точкой, то в полученной односвязной области D работа сил не будет зависеть от путей, соединяющих две фиксированные точки. Однако это становится неверным для первого силового поля, если рассматривать всю плоскость с выколотым началом координат. Рассмотрим в качестве пути замкнутый контур — единичную окружность S{ = = {(х, у): х = cos ф, у = sin <р, 0 < <р ? 2л}. Тогда в первом случае

так как dr-0 вдоль контура Sv В этом случае обход начала координат не влияет на величину работы, хотя область определения силового поля неодносвязна.

0.4.5. Величина Т = 1/2/яг2 называется кинетической энергией материальной точки.

Т. При движении материальной точки дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе действующей на точку силы на действительном перемещении.

А Имеем

Функция (/, многозначна, и работа силы по замкнутому контуру, охватывающему начало координат, равна 2п. Во втором случае

С.1. Приращение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении из точки Р0 в точку Р равно работе силы на этом перемещении

где г0, г — скорости материальной точки, соответствующие ее положениям Р0 и Р.

С.2. Производная от кинетической энергии по времени равна мощности силы, действующей на точку, т.е.

Доказательства следствий 1 и 2 очевидны.

С.З. Если силовое поле консервативно, то полная механическая энергия точки сохраняется при ее движении.

А В случае консервативного поля работа силы на пути Р0Рравна разности U(t) - U(г0), где U(г) — силовая функция, а г0, г — радиусы-векторы точек Р0, Рсоответственно. Назовем потенциальной энергией консервативного силового поля величину V(v) = -U(г). Из первого следствия найдем

0.4.6. Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией.

Таким образом, полная механическая энергия материальной точки Е= Т+ V=h постоянна вдоль траектории — закон сохранения энергии. ?

Если силовое поле консервативно и задана постоянная полной энергии А, то все траектории движения с полной энергией И расположены в области возможных движений Dh={г : U(г) -ь И > 0}.

П.1. Рассмотрим движение материальной точки в однородном силовом поле F = -mge3 (падение точки в пустоте). Здесь g — ускорение свободного падения, е3 — орт вертикальной оси Оху Поле консервативно и его потенциальная энергия V=mgrey Полная энергия l/2mr2+mgre3 = И — закон сохранения энергии. Область возможных движений Dh={r : h - mgre3 ? 0} — полупространство. Уравнение движения точки /яг = -/wgre3 имеет решение г = г(0) + + v(0)/- l/2g/2e3, где r(0), v(0) — начальные условия движения. Легко показать, что траектория движения есть парабола, расположенная в вертикальной плоскости, являющейся линейной оболочкой векторов е3, v(0) и проходящей через точку, радиус-вектор которой равен г(0).

П.2. Пусть материальная точка движется под действием силы F = /я/,(г)г + mf2(г, г)г. Момент количества движения G = [г, /яг| изменяется согласно уравнению

Полагая G= Ge, где G= |G| получим Ge + Ge = /2Ge. Умножим последнее равенство скалярно на ё и, учитывая равенство ее = 0 (е — единичный вектор), найдем Се2 = 0. Поскольку в случае общего положения G* 0 (если G=0, то движение происходит по прямой, проходящей через начало координат), то е = 0 и вектор е постоянен. Далее reG= 0, т.е. движение точки происходит в плоскости. Сила m/,(r)г консервативна, так как

Функция/2(г, г), если речь идет о модели сил сопротивления, противоположных скорости точки, отрицательна, и полная энергия Е убывает, когда г*0. Область возможных движений Dh = = {г: U(r) + h ? 0} в зависимости от вида силовой функции G(r) представляется либо шаром, либо объединением шаровых слоев.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >