ДИНАМИКА СИСТЕМЫ N ТОЧЕК

СИСТЕМА СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И УРАВНЕНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

0.1.1. Механическая система (П, ?(П), и) называется системой

N

N материальных точек, если П = (J М,, где М, — точка трехмер- ного пространства.

Кольцо ?(П) содержит 7N элементов вида {0, Л/,, ..., MN, Л/, (J U Л/2,..., О}, представляющих всевозможные объединения по к элементов из N, где к = О, 1, ..., N. Мера ц на кольце 1(0) будет задана, если определить ц(Л/,) = т,, /'= 1, ..., N. Здесь т, — масса точки

N

М„ а масса всей системы М = р(П) = ?/я, .

  • (=1
  • 0.1.2. Движением системы N материальных точек назовем однопараметрическую непрерывную группу отображений множества О в Ег, т.е.

g': О -» Е r, = r,(/), t е Л1, /= 1, .... N.

Параметр t называется временем. В дальнейшем предполагаем, что функции г,(/) дважды дифференцируемы по времени и определяют положение точки в инерциальной системе координат.

На точку М, действует сила F, = F, + ? Fv(,), где F, — внеш-

няя сила — результат взаимодействия точки Л/, с материальными объектами, не входящими в множество О, F — внутренняя сила — результат взаимодействия точек М, и Му По третьему закону динамики (см. §3.1) сила F,;(,) = -Fy,(,) и направлена по прямой, соединяющей точки М, и Му

Для каждой свободной материальной точки запишем уравнение движения

Если задать модель взаимодействия точек друг с другом и с остальными точками Вселенной, например определить функции F,(/,Г|rNi г,.то уравнения (1.1) представятся как система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 6N. Предполагая выполненными условия теоремы существования и единственности решений, определим движение системы как общее решение системы (1.1), а именно г, = Г/(/, Г|(0), ..., Гд<0), г,(0)...,Гдг(0)), 1=1,..., N. Таким образом, начальное состояние системы (набор начальных условий г,(0), ..., г^О), г,(0)...,г^(0)) задает единственным образом движение системы.

N

0.1.3. Вектор Q = Tw,r;• называется количеством движения сис- /-1

темы N материальных точек.

N

0.1.4. Точка С, радиус-вектор которой rc = М Y*miri> называла ,и|

ется центром масс системы N материальных точек.

Т.1. Производная по времени от количества движения системы равна сумме внешних сил, действующих на точки системы, т.е.

? Согласно уравнениям (1.1) имеем

По третьему закону динамики силы F,y(/) попарно уничтожаются, так как

Теорема 1 называется теоремой об изменении количества движения системы N материальных точек. Справедлива также теорема о движении центра масс.

Т.2. Центр масс системы движется как материальная точка массы М под действием силы, равной сумме внешних сил, действующих на все точки системы, т.е.

А Сформулированная теорема является следствием теоремы 1. Достаточно только заметить, что по определению центра масс Q = Мrc. ?

С.1. Если проекция суммы внешних сил на какое-либо неподвижное направление равна нулю, то проекция количества движения системы на это направление постоянна или проекция радиус-вектора центра масс на это направление движется с постоянной скоростьюзакон сохранения количества движения.

N

А Пусть е — орт неподвижного направления и ?F,(''е = 0. Тогда

1*1

Qe = (Qe)' = 0 и Qe постоянна. Далее Qe = Мгсе и гсе постоянна. ?

0.1.5. Система материальных точек называется изолированной, если можно пренебречь взаимодействием ее точек с точками Вселенной, не входящими в рассматриваемую систему, т е. F(w.= 0, N.

С.2. Центр масс изолированной системы движется равномерно и прямолинейно, поскольку на основании теоремы о движении центра масс гс = 0.

П. Пусть две материальные точки Л/, и М2 соединены сжатой пружиной и движутся как одна материальная точка в однородном поле силы тяжести. В некоторый момент времени пружина освобождается и расталкивает материальные точки (рис. 28). Уравнения движения системы имеют вид

Поскольку F|2 = -F2| — сила, развиваемая пружиной, то Л/гс =

= Л/g, Л/= /л, + т2. Центр масс движется по закону гс = l/2gt2 +

+rc(0)f + гс(0), описывая параболу. Движение материальных точек после прекращения действия пру- Рис. 28

жины будет также происходить по

ветвям парабол. Следует отметить, что закон взаимодействия точек (модель пружины) не влияет на движение центра масс системы точки С. Количество движения системы в проекциях на горизонтальные оси 0?,, и 0?,2 сохраняется.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >