КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В АБСОЛЮТНОМ ДВИЖЕНИИ И В ДВИЖЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС. ТЕОРЕМЫ ОБ ИХ ИЗМЕНЕНИИ

н ,

0.3.1. Величина Т = l/2? mjt е называется кинетической энер-

ы

гией системы N материальных точек в абсолютном движении.

Здесь г, — радиус-вектор точки Л/, относительно инерциальной системы координат O^faby

N

0.3.2. Величина Т' - 1/2?т;г/г называется кинетической энер-

/ = 1

гией системы N материальных точек в движении относительно центра масс.

Здесь г/ — радиус-вектор точки Л/, относительно репера Кенига. Т.1 (вторая теорема Кенига). Кинетическая энергия системы в абсолютном движении равна сумме кинетической энергии центра масс и кинетической энергии системы в движении относительно центра масс.

А Поскольку Г, = гс+ г, , то

Последнее слагаемое равно нулю, так как по определению центра

N

масс ? m,rj = 0. ?

t=i

Т.2. Дифференциал кинетической энергии системы в абсолютном движении равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил на действительных перемещениях точек, т.е.

А Заметим, что г(<Л) = г,dr,. Используя уравнение (1.1), получим

не равна, вообще говоря, нулю. ?

Т.З. Дифференциал кинетической энергии системы в движении относительно центра масс равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил на относительных действительных перемещениях точек, т.е.

? Воспользуемся теоремами 1 и 2 и найдем

Учитывая теорему о движении центра масс Мгс = F,(,), по-

/-1

лучим (3.2). ?

С.1. Теоремы об изменении кинетической энергии можно представить в (форме

Здесь W, W'мощности сил при абсолютном и относительном перемещениях точек соответственно.

0.3.3. Назовем набор х=(Г|, ..., rN) е EiN конфигурацией системы в инерциальной системе координат О/;,^з, а набор х' = (Г| .... г*') — конфигурацией системы в осях Кенига.

С.2. Если система в моменты времени t0 и /, имеет конфигурации Xq и хх, то приращение кинетической энергии при движении системы из конфигурации х$ в конфигурацию хх равно работе сил вдоль траектории движения, т.е.

Аналогично в движении относительно центра масс

Интегральная форма теорем об изменении кинетической энергии получается путем интегрирования равенств (3.1) и (3.2).

0.3.4. Говорят, что система консервативна, если существует функция {/(г,,..., rN) и F, = VrU, /= 1,..., N, в некоторой односвязной области конфигурационного пространства E1N.

С.З. В случае консервативной системы имеет место закон сохранения энергии Т- U=h, или Т+ V- Л, где V=-Uпотенциальная энергия.

В самом деле, работа сил на элементарном перемещении dA -

N

= ?VrUdTj = dll, и криволинейный интефал в равенстве (3.3) пред-

/»|

ставляется в виде

Следовательно, из равенства (3.3) вытекает

Если в качестве момента времени /, рассмафивать произвольный момент времени t и движение х = х(/), то вдоль этого движения сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна, т.е. 74 V=h.

Аналогичным образом можно получить закон сохранения полной механической энергии Т' - U' = h из равенства (3.4), если силы

F/=V^'(r'1,...,rV).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >