СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА: ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ЦЕНТРА МАСС

Случай Эйлера можно также реализовать при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции, когда внешние активные силы отсутствуют. Разобьем решение задачи на несколько этапов.

1°. Определение вектора со. Уравнение (3.8) при рс= 0 порождает замкнутую систему дифференциальных уравнений и имеет вид

Скалярное умножение уравнения (4.1) на Лю приводит к первому интегралу

который вместе с интегралом энергии (3.11)

определяет кривую четвертого порядка, описываемую концом вектора угловой скорости {ю:а> е Е1, Jmco = h, (Лю)2 = С2). Предположим, что A Z В 2 Си введем новую постоянную D, удовлетворяющую равенству G2 = hD и имеющую размерность момента инерции. Из равенств (4.2) и (4.3) выразим р1 и г2 через q2, решив систему уравнений

Имеем

Постоянная D должна удовлетворять неравенствам А ? D Z С. Из соотношений (4.4) и второго уравнения системы (3.5) с учетом равенства ту = 0 найдем q в виде

Уравнение (4.5) определяет в области |?| ? min (f, g) на фазовой плоскости (q, q) замкнутую кривую, симметричную относительно осей координат. Рассмотрим различные случаи интегрирования уравнения (4.5).

а) Случай общего положения, когда /*0, g*0, f* g. Разделяя переменные в уравнении (4.5) и вводя новую переменную s= qg~l, если /> g, получим

Если g>f то переменная q представляется в виде q=f sn (gn х х 0- <ь); **). К =fg-' < 1.

После того как найдена компонента угловой скорости q(t), две остальные проекции угловой скорости на главные оси тензора инерции р{1) и КО определяются из соотношений (4.4) как периодические функции времени.

б) В случае f=g получим уравнение

решение которого имеет вид q=f th [я/(/ — /0)1- При > +°° величина q(t) стремится к /, а р(1) и КО согласно (4.4) стремятся к нулю. Движение тела стремится к стационарному вращению вокруг оси, совпадающей со средней главной осью инерции — осью Оу. Решение имеет асимптотический характер.

в) Система уравнений (4.4), (4.5) имеет также стационарные решения трех типов:

Переменная q выражается через эллиптический синус в виде q = gsn(fn (/- /0); к) и изменяется периодически от -gflog. Период функции q(t) определяется через полный эллиптический интеграл первого рода

Решения (4.7) соответствуют вращениям твердого тела вокруг одной из главных осей инерции.

2°. Определение углов Эйлера. Вектор момента количеств движения g = /со = (Ар, Bq, Сг) направлен по оси инерциальной системы координат и постоянен. С другой стороны, его проекции на главные оси инерции Ox, Оу, Oz представляются посредством углов Эйлера формулами (С sin 0 sin G sin 0 cos ip, G cos 0) (рис. 34). Отсюда следуют равенства

Поскольку величины р, q, г найдены выше как функции времени, то из равенств (4.8) легко определить два угла Эйлера 0 и <р из соотношений

Определение угла прецессии ц/ требует вычисления интеграла по времени от выражения, полученного из кинематических уравнений Эйлера (3.6) и соотношений (4.8)

Рис.35

Рис.34 Рис.35

В случае общего положения углы 0 и ф изменяются периодически с периодом Т, определяемым формулой (4.6), а угол ф монотонно возрастает. Если время, за которое угол ф возрастает на 2я, несоизмеримо с периодом Т, то движение непериодично по всем углам Эйлера и называется почти-периодическим. Тело никогда не возвращается в исходную конфигурацию, хотя в некоторые моменты времени будет как угодно близко к ней.

В случае соизмеримости этих величин движение периодично. Почти все движения тела непериодичны, а мера начальных условий движения, при которых движение периодично, равна нулю, если рассматривать любое ограниченное множество начальных условий в шестимерном фазовом пространстве у q, г, у, 0, <р).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >