ПРИБЛИЖЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В СЛУЧАЕ ЛАГРАНЖА, ПСЕВДОРЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ

Если корни уравнениями) = 0, расположенные на отрезке |-1, 1], удовлетворяют условию |И| - u2|« 1, то кубическую параболу Ли) на отрезке [и,, и2] можно приближенно аппроксимировать квадратичной параболой и проинтегрировать полученное уравнение в элементарных функциях. Эта замена эквивалентна разложению функции Ди) в окрестности, например, точки и2 в ряд Тейлора и использованию в дальнейшем двух первых членов этого разложения. Заметим, что ряд Тейлора будет содержать всего три члена, так как функция/(и) есть многочлен третьего порядка.

Пусть тело начинает движение, когда у(О)=0(О) = О, 0(0) = 0О, <р2(0)» C~lmgl- Последнее условие означает, что кинетическая энергия тела в начальный момент времени значительно превосходит характерную потенциальную энергию поля силы тяжести. Тогда коэффициенты многочлена flu) (см. формулы (6.3)) равны

Многочлен Ди) принимает вид

Заметим, что Л2^'1»! согласно сделанным предположениям. Ряд Тейлора функцииМи) в окрестности корня u2 = cos 0О имеет вид

Здесь i>=h-cos0o. Поскольку 62р_|»1, корень U|*cos0o- -P6~2sin20o. После замены функции Ди) функцией -p[sin20oi> + + (6^“' -2cos 0o)f2] получим дифференциальное уравнение

Продифференцируем соотношение (8.1) по времени и найдем

Решение уравнения (8.2) с учетом начальных условий имеет вид

Угол нутации 0 есть периодическая функция времени и

Угловая скорость прецессии согласно (6.5) равна

Отсюда с учетом (8.3) угол

Коэффициент |3/(2b) = и, значит, угловая скорость прецессии не зависит от угла 0О и мала. Скорость собственного вращения ф = Ф0 - ф cos0 и близка во все время движения к ф0, так как ф имеет порядок (5/(26)« ф0, где ф0 = ф(0).

Описанное движение называется псевдорегулярной прецессией, поскольку величины 0, ф, ф в процессе движения отличаются от постоянных на малые периодические высокочастотные колебания. Визуально движение «быстрого» волчка воспринимается как регулярная прецессия.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >