МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ. ФУНКЦИОНАЛ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

В дальнейшем рассматриваем однородное упругое изотропное тело. В ряде случаев деформации упругих тел достаточно малы (|е,| к 0-Н0~2), и потенциальная энергия деформаций элементарной частицы в предположении гладкости соответствующей функции может быть разложена в ряд Тейлора

где 0(е3) означает члены порядка малости три и выше по главным деформациям е,, е2, е3. Положим е(0, 0, 0) = 0 и покажем, что де (0,0,0)/5If = 0. Если внешние силы отсутствуют, то упругое тело находится в состоянии покоя относительно соответствующей инерциальной системы координат, т.е. и(г, /) = 0 на П. Согласно принципу Д’Аламбера—Лагранжа работа упругих сил на возможных перемещениях в состоянии равновесия равна нулю:

Поскольку dllE/du,j= dlllE/duv-0 при u г 0, а дЕ/ди1) * 0, то равенство нулю в (2.2) возможно согласно основной лемме вариационного исчисления только при условии Эе(0, 0, 0)/Э1?=0.

Ограничимся в (2.1) квадратичными членами по переменным ей и получим

где fc,, к2 — постоянные. Если, кроме того, предположить, что | и„|« 1 и ограничиться в (2.3) квадратичными членами по переменным u(J (при этом отбрасываются члены порядка малости три и четыре), то найдем

Величины е,у, у = 1, 2, 3, являются компонентами симметричного тензора малых деформаций ||еД а функционал (2.4) определяет потенциальную энергию малых деформаций (классическая теория упругости). Потенциальная энергия деформаций элементарной частицы должна быть положительной, иначе в процессе деформации работа сил по изменению формы частицы будет отрицательной, т.е. будет происходить выделение, а не затрата энергии. Условия положительной определенности квадратичной формы (2.3), представленной в виде

е = *2S(еЛе^-Е?

Vi-i ) uj

выражаются неравенствами Лг, > 0, 0 < 2 Л|_| < 3.

Подынтегральное выражение в (2.4) обозначим также через е и представим в виде

Коэффициенты X и ц называются коэффициентами Ламе. В ряде случаев используются также коэффициенты Е, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно, связанные с коэффициентами Ламе формулами

Значения упомянутых коэффициентов для различных упругих тел можно найти в справочниках.

Квадратичный функционал потенциальной энергии упругих деформаций (2.4) соответствует классической теории упругости малых деформаций и, как будет показано выше, приводит к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных, описывающим движения и равновесия упругих тел. Однако замена компонент тензора конечных деформаций е,у на компоненты тензора малых деформаций et) влечет за собой неинвариантность функционала (2.4) по отношению к группе вращений упругого тела как твердого тела. Функционал (2.4) можно использовать только в тех случаях, когда среди перемещений упругого тела отсутствуют его вращения как твердого тела.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >