ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРА—ЛАГРАНЖА В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ПОЛЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА

Пусть система материальных точек занимает область О в трехмерном пространстве, распределение масс задается постоянной плотностью р так, что dp = pdx, dx = dxtdx2dx2> a движение системы / есть отображение области О в себя. В дальнейшем будем интересоваться полями скоростей v(r, /) и ускорений w(r, /), где радиус-вектор г характерйзует фиксированную точку М области О (рис. 63). Через точку М проходят различные частицы сплошной среды, и v(r, /), w(r, I) суть скорость и ускорение частицы, находящейся в данный момент времени в точке М. Такой способ описания характеристик движения принадлежит Эйлеру. Ранее при изучении движения упругого тела вектор г характеризовал определенную частицу тела и величины и(г, /), и(г, /), Рис.63

и(г,0 обозначали перемещение, скорость и ускорение этой частицы. Такой способ описания движения принадлежит Лагранжу. Используя описание движения по Эйлеру, представим закон движения частицы на отрезке времени [/, (г+т0)] в виде

Рассмотрим такие движения сплошной среды, когда объем всякой элементарной частицы не меняется. Пусть D, — произвольная область, принадлежащая П, и g'D, — ее образ в момент времени I + т. Тогда

Поле ускорений w(r, I) можно найти, если известно поле скоростей v(r, г). По определению имеем

Так как область D, произвольна, то якобиан

Используя равенство (1.1), найдем

и далее согласно (1.3)

Условие (1.4) называется условием несжимаемости или условием неразрывности среды. Условие несжимаемости (1.3) накладывает ограничения на возможные перемещения частиц сплошной среды, а именно

Таким образом, поле возможных перемещений 6R(r, t) удовлетворяет условию

и соленоидально, т.е. 6R = rot В(г, /). Введем согласно принципу освобождаемости от связей поле реакций связей ifi (г, t) в области П. Кроме того, на границе дП перемещения частиц таковы, что они не пересекают границу и все время остаются внутри области Q или на ее границе. Это обстоятельство следует трактовать как связь, наложенную на перемещения точек системы, а эквивалентное ей поле реакций связи F(r, I) есть поверхностная сила. Возможные перемещения точек на границе дС1 удовлетворяют условию n5R < 0, где п — внешняя нормаль границы. С другой стороны, используя теорему Остроградского—Гаусса и равенство (1.6), получим

Следовательно, n8R = 0 на 8Q. Аналогичным образом доказывается равенство nv = 0 на границе 3d.

0.1.1. Сплошная среда называется идеальной несжимаемой жидкостью, если каждая элементарная частица при движении сохраняет свой объем, при деформациях элементарной частицы не совершается работа и поле реакций связей идеально, т.е.

на любых возможных перемещениях (1.6) (аксиома идеальных связей).

Если на жидкость действует поле внешних массовых сил f(r, f), то ее движение удовлетворяет вариационному принципу Д’Аламбера — Лагранжа

По определению вариация

для любого поля возможных перемещений 5R(r, /), удовлетворяющего условию (1.6) и условию n6R = 0 на дС1. Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа и представим соотношение (1.8) в виде

Здесь связь n6R = 0 на <3fi заменена силовым полем поверхностных сил, р(г, t) — неопределенный множитель Лагранжа, называемый давлением. Поле возможных перемещений 5R в (1.9) произвольно Преобразуем член, содержащий div 8R, по формуле Остроградского—Гаусса и получим

Учитывая произвольность поля возможных перемещений, согласно основной лемме вариационного исчисления получим из (1.10) равенства

Первое уравнение называется уравнением Эйлера и согласно (1.2) имеет вид

а из второго соотношения (1.11) следует, что поле поверхностных сил направлено по нормали к поверхности.

Уравнение Эйлера (1.12) совместно с уравнением неразрывности (1.4) составляют полную систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение идеальной несжимаемой жидкости в области П. Система содержит четыре уравнения в частных производных относительно неизвестных функций и,, v2, v2, и р, где ц,, v2,1>з — проекции вектора скорости v на оси инерциальной системы координат. Граничные условия для скорости v(r, /) выражаются равенством vn = 0 на да. Давление р(г, /) и поверхностная сила F(r, i) на дП определяются с точностью до произвольной постоянной.

В проекциях на оси инерциальной системы координат Oxix2x2 уравнение Эйлера (1.12) записывается в виде

Траектория каждой частицы жидкости R = R(r, г0) может быть найдена после определения поля скоростей v(r, I) путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Здесь R, — проекция вектора R на ось Ох„ г0 — вектор, характеризующий положение частицы (точки жидкости) в начальный момент времени.

Если жидкость находится в состоянии покоя (v = 0) в однородном поле силы тяжести, когда f= -ge33 — орт вертикали), то из уравнения Эйлера Vp = -pge3 определим давление р = р0- рgx3. Здесь р0 — произвольная постоянная. Рассмотрим твердое тело, занимающее область D и целиком окруженное жидкостью. Поверхностная сила, действующая на тело, равна F = -рп , где п — нормаль поверхности 8D. Результирующая сил давления

Умножим последнее равенство на произвольный вектор а и, использовав формулу Остроградского—Гаусса, получим

Таким образом, сила Р, называемая силой Архимеда, равна pge3 vol D. Если вес тела окажется большим силы Архимеда pg vol D, то тело начнет погружаться, в противном случае — всплывать.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >