Примеры динамического расчета систем с одной степенью свободы

Пример 1.5. Определим динамический коэффициент, амплитуду вынужденных колебаний и построим эпюру изгибающих моментов от динамической нагрузки для системы, показанной на рис. 1.14, а. Число оборотов двигателя п = 120 об/мин, вертикальная составляющая центробежной силы /?'(/) = 2siп0/ кН, EI = 225 кН • м2. Вес двигателя G = 1,8 кН. Собственный вес конструкции нс учитывается.

Расчет системы с одной степенью свободы на вибрационную нагрузку

Рис. 1.14. Расчет системы с одной степенью свободы на вибрационную нагрузку

Решение

Система статически определимая. Перемещение 6П от единичной силы, приложенной по направлению перемещения массы (рис. 1.14, б), определяется по формуле Мора.

Эпюра М{ представлена на рис. 1.14, в. Частота свободных колебаний определяется по формуле (1.4):

Используя формулу (1.14), представим число оборотов через угловую частоту вынужденных колебаний:

Динамический коэффициент определим по формуле (1.33):

Статический прогиб от амплитудного значения возмущающей силы:

Динамический прогиб: г/днн= ху.л = 2,38 0,04 = 0,095 м.

Статический прогиб от веса двигателя: yG = G8,, = 1,8 - 0,02 = 0,036 м. Максимальный прогиб под двигателем: г/тах = ус + г/дни = 0,036 + 0,095 = 0,131 м. Эпюра изгибающих моментов Л/, от веса двигателя MG = G приведена на рис. 1.14, г. Динамическая эпюра изгибающих моментов изображена па рис. 1.14, д. Полная эпюра моментов (М = Ма + МДШ1) представлена па рис. 1.14, е.

Далее приведем расчет статически неопределимых систем методом сил и методом перемещений.

Пример 1.6. Определим динамический коэффициент, амплитуду вынужденных колебаний и построим эпюру изгибающих моментов от вибрационной нагрузки в двухпролетной неразрезной балке, если в середине левого пролета работает двигатель весом G = 1,5 кН. Двигатель делает 100 об/мин и создает вертикальную составляющую центробежной силы F(t) = 0,8sin0? (рис. 1.15, а). Поперечное сечение постоянное, EI = 120 кНм2. Собственный вес балки не учитывается.

Решение

Данный пример аналогичен предыдущему. Основное отличие состоит в том, что система является статически неопределимой, а перемещение от единичной силы по направлению колебания массы 5П согласно теории необходимо определять в заданной системе (рис. 1.15, б). Балка имеет одну лишнюю связь. Решим задачу методом сил. Основная система приведена на рис. 1.15, в. Каноническое уравнение метода сил запишется следующим образом: 5J/X, + = 0.

Эпюра моментов от X, = 1 показана на рис. 1.15, г. Эпюра изгибающих моментов от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению перемещения массы, приведена на рис. 1.15, д. Вычислим коэффициент 5^, и свободный член 5{/:

Вибрационное воздействие на статически неопределимую систему

Рис. 1.15. Вибрационное воздействие на статически неопределимую систему

Тогда

Построим эпюру изгибающих моментов Мх = МХх + F (рис. 1.15, е). Определим 8И (см. рис. 1.15, б):

Угловая частота собственных колебаний согласно формуле (1.13) равна

Преобразуем число оборотов в минуту в угловую частоту: Затем вычислим динамический коэффициент (1.33):

Используем полученный коэффициент для вычисления динамических прогибов и изгибающих моментов. Получаем

(здесь F = 0,8 кН — амплитуда вибрационной нагрузки). В максимальный прогиб иод двигателем входит и статический прогиб от веса двигателя:

Момент равен Млш = xMF= цА/,/7(рис. 1.15, ж).

Если эту эпюру сложить со статической эпюрой моментов от веса двигателя Mcr = MyG (рис. 1.15, з), то получим полную эпюру изгибающих моментов от заданного воздействия (рис. 1.15, и, где сплошные линии соответствуют Мст+ М , штриховые линии — Л/ст - МД1Ш).

Пример 1.7. Выполним расчет двухпролетной рамы (рис. 1.16, а) на действие вибрационной нагрузки. В середине правого пролета установлен двигатель весом G = 4 кН, делающий в стационарном режиме 120 об/мин. Он создает вертикальную составляющую центробежной силы F(t) = 2sin0f кН. Собственный вес стержней рамы нс учитывается. Поперечные сечения ригеля и стойки различны, EI = 87,5 кН • м2.

Решение

Рассматриваемая система при принятых допущениях имеет одну степень свободы, так как масса может перемещаться только в вертикальном направлении.

Степень статической неопределимости рамы п = 4, а степень кинематической неопределимости равна единице, поэтому расчет выполним методом перемещений.

Расчет рамы на вибрационную нагрузку методом перемещений

Рис. 1.16. Расчет рамы на вибрационную нагрузку методом перемещений

Для определения перемещения 6И (рис. 1.16, б) от единичной силы, приложенной но направлению перемещения массы, построим эпюру моментов в заданной системе.

Основная система метода перемещений показана па рис. 1.16, в. Каноническое уравнение r^Z, + riF= 0. Эпюра от Z, = 1 приведена на рис. 1.16, г, эпюра от внешней нагрузки — на рис. 1.16, д. Выделяя добавленную связь и составляя уравнения моментов, определим реакции гп и r,p гп = 4,5?7; rlF = -0,75. Подставляя эти значения в каноническое уравнение, найдем

Построим эпюру изгибающих моментов, пользуясь выражением Мх = MfZ, + MF (рис. 1.16, е).

Для упрощения вычисления 6П дополнительно построим эпюру от единичной силы в статически определимой системе (рис. 1.16, ж). Итак,

Частота свободных колебаний:

Угловая частота вынужденных колебаний:

Динамический коэффициент:

Статический прогиб под двигателем: yG = С6И = 4 -0,0057 = 0,0228 м. Статическая эпюра моментов изображена на рис. 1.16, з. Максимальный прогиб под грузом:

Динамическая эпюра изгибающих моментов, построенная по выражению Мт- |дА/,/% изображена на рис. 1.16, и. Полная эпюра моментов при стационарной работе двигателя представлена на рис. 1.16, к (сплошными линиями показана это- ра М(. + Мти, а штриховыми - Мс - Мтн).

Упражнение 1.2. Определите максимальное перемещение массы и постройте эпюру моментов от вибрационной силы в системе, показанной на рис. 1.17. Исходные данные: F(t) = 6OOOsin0? Н; тх = 500 кг; 0 = 20 с-1; EI = 18,437 • 10б Н • м2.

Статически определимая система под вибрационной нагрузкой

Рис. 1.17. Статически определимая система под вибрационной нагрузкой

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >