Давление. Уравнение гидростатики

Морская вода, как и все жидкости, характеризуется тем, что не оказывает сопротивление сдвигу и поэтому может изменять свою форму под воздействием сколь угодно малых сил. Для изменения же объема морской воды требуются более значимые внешние силы. При этом в воде возникают упругие силы, стремящиеся уравновесить действие внешних сил. Это проявляется в том, что отдельные части воды действуют друг на друга или на соприкасающиеся с ними тела с силой, воздействие которой характеризуется давлением.

Давлением называется физическая величина р, равная пределу отношения численного значения AFn нормальной силы, действующей на участке поверхности тела площадью AS, к величине этой поверхности при AS, стремящейся к нулю:

В воде, находящейся в состоянии равновесия, давление - скаляр, абсолютно независимый от ориентации площадки AS, на которую давление действует, иначе говоря, наблюдается изотропность давления.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольный двумерный элемент в неподвижной жидкости (рис. 3.5). Поскольку движения нет, на элемент жидкости действуют только силы тяжести и давления. Проекции этих сил на оси ОХ и OY дают равенства (с учетом, что dz=)

К доказательству изотропности давления в воде, находящейся в состоянии покоя

Рис, 3.5. К доказательству изотропности давления в воде, находящейся в состоянии покоя

Делая подстановку dy = ds sin а и dx = ds- cos а в (3.60)- (3.61), получим:

При стремлении выбранного элемента жидкости стянутся в точку, последний член в правой части второго уравнения стремится к нулю. Тогда

Поскольку угол а произволен, давление одинаково во всех направлениях. Аналогичное доказательство можно привести и для трехмерного элемента воды.

К выводу уравнения гидростатики

Рис. 3.6. К выводу уравнения гидростатики

На всю толщу воды Мирового океана действует атмосферное давление, которое в большинстве формул для расчета физических свойств морской воды непосредственно в них включено. Поэтому, когда говорят, что такое-то свойство вычислено при давлении равном нулю, - это означает, что расчет производился при атмосферном давлении.

В толще воды океана, находящейся в состоянии покоя под действием только силы тяжести, давление на двух разных горизонтах отличается на величину, численно равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими горизонтами, с площадью сечения, равной единице.

Выделим в воде цилиндр с вертикальной осью, сечением AS и высотой Дz (рис. 3.6). Вдоль его оси, кроме сил давления на основания, будет действовать объемная сила тяжести - mg = -pg-AzAS (ось z направлена вверх), где р - плотность воды, g - ускорение силы тяжести. Из условия равновесия следует:

Откуда что и требовалось доказать. При стремлении Az -» 0 выражение (3.62) преобразуется к виду

Это выражение представляет собой широко известное уравнение гидростатики.

В толще океана существуют поверхности равного давления - изобарические поверхности. Расстояние между изобарическими поверхностями, из-за различий в удельных объемах (плотностях) воды и ускорения силы тяжести в разных частях моря, будут в общем случае, согласно (3.63), различными на разных вертикалях.

Кроме того, при условии гидростатического приближения направление градиента давления совпадает с направлением силы тяжести, поэтому как изобарические, так и изопикнические поверхности, перпендикулярны направлению ускорения силы тяжести и поэтому являются горизонтальными.

В Международной системе единиц СИ за единицу давления принят паскаль (Па):

Некоторые коэффициенты перерасчета одних единиц давления в другие приводятся в таблице 3.5.

В то же время в океанологии до сих пор применяется и другая единица давления - бар (1 бар=105 Па) или десятая доля бара - децибар (дбар). Это объясняется тем, что изменение давления на 1 дбар соответствует изменению глубины приблизительно на 1 м; такое соответствие позволяет иногда глубину в метрах заменять давлением в дбарах.

Таблица 3.5

Коэффициенты перевода единиц давления

Единицы

измерения

Па

бар

атмосфера

мм. рт. ст.

Па

1

КГ5

9,869-10'6

7,5024-Ю'3

бар

и?

1

0,9869

750,24

атмосфера

101325

1,01325

1

760

мм. рт. ст.

133,322

0,00133

0,001316

1

Чтобы показать это, рассмотрим давление столба воды плотностью р и единичной площадью. Определим, какой должна быть

Однако в ряде случаев требуется точная зависимость между давлением и глубиной, например при проведении измерений в придонном слое морей и океанов (океанографический зонд измеряет давление, а эхолот по времени прохождения акустического сигнала - глубину). Для определения этой зависимости проинтегрируем по вертикали уравнение (3.63):

его высота Az, чтобы давление Ар на его нижнем основании было равным 1 дбар=104 Па. Для этой цели возьмем формулу (3.62), выразим ее относительно высоты и подставим в нее Д/?=104Па, g=9,8 мс'2, р= 1027,54 кг м'3 (средняя плотность морской воды при атмосферном давлении):

Учитывая приведенную ниже формулу (3.77), имеем:

где vSTp - удельный объем океана in situ. Если z заменить давлением р в выражении для ускорения силы тяжести, получим:

Если имеются наблюдения за давлением, температурой и соленостью морской воды по глубине в океане, выражение (3.66) может быть вычислено численно.

При отсутствии же гидрологических наблюдений приближенную зависимость глубины от давления можно получить следующим образом. Для этого интеграл в числителе правой части (3.66) представим в виде суммы:

где 5 - аномалия удельного объема относительно стандартного океана (3.48). Второй интеграл в правой части (3.67) почти всегда значительно меньше первого и им обычно пренебрегают. Первый интеграл можно найти аналитически, если подставить в него выражение для удельного объема, например, используя уравнение состояния (4.13). Однако в результате получится очень громоздкое выражение. Во избежание этого интеграл с помощью метода наименьших квадратов можно аппроксимировать, например степенным многочленом четвертого порядка:

Если использовать уравнение состояния УС-80 (4.13), то коэффициенты в выражении (3.68) будут равны: С=9,72659, С2=-2,2512-10'5, Сз=2,279 10'10, с4=1,8210'15, где/) дано в дбар.

Подставляя (3.68) в (3.66), получим:

где р - давление, дбар; z - глубина, м. На рис. 3.7 приведены значения разности между давлением и глубиной, вычисленной по формуле (3.69) как функции давления и широты.

Разность между давлением [дбар] и глубиной [м] для стандартного океана как функция давления и широты

Рис. 3.7. Разность между давлением [дбар] и глубиной [м] для стандартного океана как функция давления и широты

В ряде случаев возникает необходимость обратной задачи - пересчета глубины в давление. Непосредственной формулы такого перевода нет. Для этого обращают уравнение (3.69) [1].

Обозначим зависимость глубины от давления как

Требуется решить обратную задачу - по заданной глубине вычислить давление, т. е. решить уравнение

Имеются различные методы решения алгебраических уравнений типа (3.71). Здесь рассматривается только один - итерационный. Уравнение (3.71) заменяют равносильным ему уравнением

Затем, выбирая некоторое начальное приближение р0, вычисляют последовательные приближения:

Существуют несколько способов приведения уравнений к виду (3.72). Если есть возможность найти аналитическое выражение - dz{p)

производной —, то можно поступить следующим образом. dp

Разложив уравнение (3.70) в ряд Тейлора и пренебрегая членами второго и выше порядков малости, получим:

Перепишем (3.74) в виде:

Уравнение (3.75) аналогично (3.72) и служит основой итерационного процесса Ньютона-Рафсона. Процесс продолжается, пока |/?л+1рп | > в, где е - любое малое число.

В практике океанологических исследований для измерения давления морской воды в основном используются датчики абсолютного давления (sealed gage). Их чувствительный элемент монтируется в корпус так, чтобы под его мембраной был вакуум, а с другой стороны - внешнее давление. В этом случае выходной сигнал будет пропорционален величине внешнего давления. Эти датчики имеют один вход для подачи измеряемого давления.

Кроме датчиков абсолютного давления иногда используются датчики дифференциального давления (differential gage), имеющие два входа для подачи давления как с одной, так и с другой стороны мембраны, причем выходной сигнал датчика определяется разностью этих давлений.

Затем выходные сигналы соответствующим образом преобразуются либо в пропорциональные изменения сопротивления (резистивные датчики), либо в резонансные частоты (резонансные датчики).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >