Последовательности комплексных чисел и пределы последовательностей

Пусть каждому натуральному числу п= 1,2,... поставлено в соответствие комплексное число zn. Тогда говорят, что задана последовательностьг,}. Так как zn = хп 4- ij/n, то задание последовательности {zn} комплексных чисел равносильно заданию двух последовательностей {хп} и п} действительных чисел.

Комплексное число А называется пределом последовательности {г,,}, если для любого положительного числа е найдется такой номер N (зависящий от е), что при всех п > N выполнено неравенство Izn - А<е.

Выполнение этого условия означает, что для сколь угодно малой ^-окрестности точки А все точки zn с номерами п > N попадут в эту окрестность, а вне ее останется лишь конечное число точек zn.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Наличие предела А у последовательности {г,,} записывается в виде lim zn = А или zn -> А при п —> оо. Данное определение сов- п—юо

падает с определением предела последовательности действительных чисел.

Теорема 4.1. Для того чтобы поыедователъностъ комплексных чисел zn = хп + iyn имела предел А = а + ib, необходимо и достаточно. чтобы последовательности (;гп } и {уп } имели предел, причем.

lirn хп = a, lim уп = b.

п—юо п—юо

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть дано, что

Надо доказать равенства lim хп = a, lim уп = Ь. Заметим, что

п—юо п—юо

Отсюда следует, что

Возьмем любое е > 0. Так как lim zn = Л, то найдется такой но-

п—юо

мер N, что при п > N выполнено неравенство zn - А < е. Из (4.2) вытекает, что

По определению предела последовательности действительных чисел получаем Пт х„ = а, Пт уп = 6, что и требовалось доказать.

П-ЮО п—юо

2. Достаточность. Предположим теперь, что Пт хи = а. Пт уи =

п—>оо п—юо'

= 6, и докажем, что lim zn = А = о + гб. Возьмем любое г > 0. Так

п—юо

как lim хп = а, то найдется такой номер JVj, что при п > JVj выпол-

п—юо

нено неравенство

(мы пользуемся определением предела последовательности действительных чисел). Аналогично, из условия Пт уп = Ь следует суще-

п—юо

ствование такого номера N2, что при п > N2

Возьмем N = max{Ari, No}- Тогда при п > N будут выполняться оба неравенства (4.3), (4.4). Из равенства (4.1) получим

Итак, для любого е > 0 найдется такой номер JV, что при п > N выполнено неравенство гп .41 < е. Эго и означает, что lim zn = А.

п—юо

Теорема 4.1 доказана.

Используя теорему 4.1 нетрудно показать, что сходящиеся последовательности комплексных чисел имеют те же свойства, что и сходящиеся последовательности действительных чисел:

Вывод формул (4.5) из теоремы 4.1 и из соответствующих свойств последовательностей действительных чисел предоставляем читателю.

Введенное выше понятие предела относилось к случаю, когда предел А ф оо. Рассмотрим теперь случай последовательности, стремящиеся к бесконечности, т.е. А = ос.

Предел последовательности {zn} равен бесконечности (записывается в виде Пт zn = 00), если для любого сколь угодно большого

п-+ оо

числа 7? > 0 найдется такой номер N (зависящий от /?), что при всех п > N выполняется неравенство zn > R.

Понятия бесконечно удаленной точки и ее окрестности, введенные в конце $3, позволяют переформулировать это определение следующим образом:

lim zn = оо, если для любой окрестности точки А = оо все точ-

п—*оо

ки zn с номерами п > N попадут в эту окрестность.

В таком виде определения конечного и бесконечного пределов аналогичны друг другу.

У п р а ж п е н и е. Докажите справедливость следующих утверждений:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >