Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Посмотреть оригинал

Определение усилий по линиям влияния при действии сосредоточенных сил

Рассмотрим случай, когда на балку действует система неподвижных сосредоточенных сил (рис. 2.16, а). Пользуясь линией влияния, например, момента в точке к (рис. 2.16, б), можно определить величину момента от этих сил.

Если в точке 1 приложена единичная сила, то момент в точке к равен ординате гц. Для случая, когда сила, приложенная в этой точке, равна момент равен произведению силы на ординату: = РЦ. Точно так же от силы Р2 момент будет равен = Р2х2 и т.п.

Рис. 2.16

Как было сказано ранее, для упругодеформируемой системы можно пользоваться принципом независимости действия сил, по которому момент от всех сил равен сумме моментов, вызванных каждой силой в отдельности:

Полученной формулой (2.6) пользуются при вычислении какого-либо фактора по его линии влияния.

Применение для расчетов компьютеров связано с использованием матричных методов, которые позволяют вычислить моменты сразу во всех узловых точках балки (к = 1,2,..., п).

Для этой цели составим из сил Р„ i = 1,2,..., п, вектор (матрицу-столбец), который обозначим Р

Умножив матрицу влияния моментов L,v/ на этот вектор, получим вектор моментов М в узловых точках балки:

В этом легко убедиться, если выполнить правило перемножения матрицы на столбец Р. Элементы вектора М образуют матрицу-столбец. Каждый из элементов МР, М>..., МпР представляет собой момент в соответствующей точке от системы сил, определяемых вектором Р. Момент МР равен изгибающему моменту в точке 1 от всей совокупности действующих сил, М тому же в точке 2 и т.п.

Иначе говоря, величины MjP, i= 1,2,/?, являются ординатами эпюры моментов в рассматриваемой балке от системы сосредоточенных сил (рис. 2.16, а), определяемых вектором Р. По этим ординатам можно построить эпюру МР на всей длине балки (рис. 2.16, в). На рис. 2.16, б показана л. в. момента в сечении к.

Пользуясь описанным методом, можно одновременно за один прием вычислить векторы моментов от нескольких за- гружений.

Пусть на балку действует последовательно несколько систем грузов, определяемых векторами Р2,Рт- Окончательные моменты от каждого вектора в точках & = 1, 2,..., п будем обозначать двумя буквами: первая — номер узловой точки балки, вторая — номер вектора, определяющего ту или иную группу сил. Так, например, момент в точке k (k = 1, 2, ..., п) от системы сил, определяемых вектором Р„ /' = 1,2,..., т, будет иметь обозначение М^.

Вместо вектора (2.7) в уравнение (2.8) теперь необходимо подставить матрицу сил, состоящих из т векторов:

Эта матрица будет прямоугольной, так как число векторов т не обязательно должно совпадать с числом узловых точек п. При т = п она будет квадратной.

Подставляя вместо вектора Р в равенство (2.8) матрицу [Р], получим уже не вектор М, а матрицу [М]:

Каждый столбец полученной матрицы содержит ординаты эпюры моментов от соответствующей группы сил. Например, в обозначении элемента матрицы моментов первый индекс показывает, в каком сечении (узле) возникает изгибающий момент, а второй — номер группы сил, от действия которой возник указанный момент.

Легко заметить, что в выражениях (2.8) и (2.10) выполняется одна и та же матричная операция (произведение матриц). Разница состоит только в количестве столбцов в матрице нагрузок. Однако в программе для компьютера применяется одна и та же запись, различается лишь признак, определяющий число столбцов (т). В этом заключается большое удобство применения матричной алгебры.

Рассмотрим три группы сил, от которых необходимо вычислить изгибающие моменты в пяти равноотстоящих одна от другой точках балки, показанной на рис. 2.17, а:

  • • первое загружение (симметричное): Р = 2 кН; Р21 = = 3 кН, Р31 = 4 кН, Р41 = 3 кН, Р51 = 2 кН;
  • • второе загружение (несимметричное): Р12 = Р22 = 4 кН, Р32 = 2 кН, Р42 = Рд2 = 0;
  • • третье загружение (кососимметричное): Pi3 = Р23 = 2 кН, Лзз = 0, Р43 = P-jз = -2 кН.

Рис. 2.17

По этим данным составим матрицу сил [Р]. Она имеет пять строк и три столбца:

Два элемента в третьем столбце матрицы отрицательные. Это означает, что две силы направлены снизу вверх.

Матрица влияния моментов для данного случая приведена в примере п. 2.6 (формула (2.4)).

При / = 12 м будем иметь

Элементы этой матрицы измеряются в тех же единицах, что и пролет /, в данном случае в метрах.

Для определения изгибающих моментов в пяти точках балки (см. рис. 2.17, а) от действия трех групп сил составим произведение двух матриц. По выражению (2.10) найдем

Первый столбец полученной матрицы содержит значения моментов в точках 1, 2, 3, 4 и 5 от загружения первой группой сил; второй и третий столбцы — то же, от загружения второй и третьей группами сил соответственно.

На рис. 2.17, б показано загружение первой группой сил и эпюра моментов от него; на рис. 2.17, в, г показаны загружения второй и третьей группой сил и соответствующие эпюры моментов.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы