Определение усилий по линиям влияния при действии сосредоточенных сил

Рассмотрим случай, когда на балку действует система неподвижных сосредоточенных сил (рис. 2.16, а). Пользуясь линией влияния, например, момента в точке к (рис. 2.16, б), можно определить величину момента от этих сил.

Если в точке 1 приложена единичная сила, то момент в точке к равен ординате гц. Для случая, когда сила, приложенная в этой точке, равна момент равен произведению силы на ординату: = РЦ. Точно так же от силы Р2 момент будет равен = Р2х2 и т.п.

Рис. 2.16

Как было сказано ранее, для упругодеформируемой системы можно пользоваться принципом независимости действия сил, по которому момент от всех сил равен сумме моментов, вызванных каждой силой в отдельности:

Полученной формулой (2.6) пользуются при вычислении какого-либо фактора по его линии влияния.

Применение для расчетов компьютеров связано с использованием матричных методов, которые позволяют вычислить моменты сразу во всех узловых точках балки (к = 1,2,..., п).

Для этой цели составим из сил Р„ i = 1,2,..., п, вектор (матрицу-столбец), который обозначим Р

Умножив матрицу влияния моментов L,v/ на этот вектор, получим вектор моментов М в узловых точках балки:

В этом легко убедиться, если выполнить правило перемножения матрицы на столбец Р. Элементы вектора М образуют матрицу-столбец. Каждый из элементов МР, М>..., МпР представляет собой момент в соответствующей точке от системы сил, определяемых вектором Р. Момент МР равен изгибающему моменту в точке 1 от всей совокупности действующих сил, М тому же в точке 2 и т.п.

Иначе говоря, величины MjP, i= 1,2,/?, являются ординатами эпюры моментов в рассматриваемой балке от системы сосредоточенных сил (рис. 2.16, а), определяемых вектором Р. По этим ординатам можно построить эпюру МР на всей длине балки (рис. 2.16, в). На рис. 2.16, б показана л. в. момента в сечении к.

Пользуясь описанным методом, можно одновременно за один прием вычислить векторы моментов от нескольких за- гружений.

Пусть на балку действует последовательно несколько систем грузов, определяемых векторами Р2,Рт- Окончательные моменты от каждого вектора в точках & = 1, 2,..., п будем обозначать двумя буквами: первая — номер узловой точки балки, вторая — номер вектора, определяющего ту или иную группу сил. Так, например, момент в точке k (k = 1, 2, ..., п) от системы сил, определяемых вектором Р„ /' = 1,2,..., т, будет иметь обозначение М^.

Вместо вектора (2.7) в уравнение (2.8) теперь необходимо подставить матрицу сил, состоящих из т векторов:

Эта матрица будет прямоугольной, так как число векторов т не обязательно должно совпадать с числом узловых точек п. При т = п она будет квадратной.

Подставляя вместо вектора Р в равенство (2.8) матрицу [Р], получим уже не вектор М, а матрицу [М]:

Каждый столбец полученной матрицы содержит ординаты эпюры моментов от соответствующей группы сил. Например, в обозначении элемента матрицы моментов первый индекс показывает, в каком сечении (узле) возникает изгибающий момент, а второй — номер группы сил, от действия которой возник указанный момент.

Легко заметить, что в выражениях (2.8) и (2.10) выполняется одна и та же матричная операция (произведение матриц). Разница состоит только в количестве столбцов в матрице нагрузок. Однако в программе для компьютера применяется одна и та же запись, различается лишь признак, определяющий число столбцов (т). В этом заключается большое удобство применения матричной алгебры.

Рассмотрим три группы сил, от которых необходимо вычислить изгибающие моменты в пяти равноотстоящих одна от другой точках балки, показанной на рис. 2.17, а:

  • • первое загружение (симметричное): Р = 2 кН; Р21 = = 3 кН, Р31 = 4 кН, Р41 = 3 кН, Р51 = 2 кН;
  • • второе загружение (несимметричное): Р12 = Р22 = 4 кН, Р32 = 2 кН, Р42 = Рд2 = 0;
  • • третье загружение (кососимметричное): Pi3 = Р23 = 2 кН, Лзз = 0, Р43 = P-jз = -2 кН.

Рис. 2.17

По этим данным составим матрицу сил [Р]. Она имеет пять строк и три столбца:

Два элемента в третьем столбце матрицы отрицательные. Это означает, что две силы направлены снизу вверх.

Матрица влияния моментов для данного случая приведена в примере п. 2.6 (формула (2.4)).

При / = 12 м будем иметь

Элементы этой матрицы измеряются в тех же единицах, что и пролет /, в данном случае в метрах.

Для определения изгибающих моментов в пяти точках балки (см. рис. 2.17, а) от действия трех групп сил составим произведение двух матриц. По выражению (2.10) найдем

Первый столбец полученной матрицы содержит значения моментов в точках 1, 2, 3, 4 и 5 от загружения первой группой сил; второй и третий столбцы — то же, от загружения второй и третьей группами сил соответственно.

На рис. 2.17, б показано загружение первой группой сил и эпюра моментов от него; на рис. 2.17, в, г показаны загружения второй и третьей группой сил и соответствующие эпюры моментов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >